小学数学思维方法——方阵问题

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方阵问题

【知识要点】

方阵其实是一种队形，一个团队排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这种队形就叫做方阵。将一些物体按照这样的方式排列起来，也叫做方阵。

方阵一般分为两类：实心方阵和空心方阵。

其基本特点是：不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同；每向里一层,每条边上的 人(或物)就少2，每一层的人(或物)的总数就少8。

方阵问题中常见的数量关系有（以队形为例）： 一、每层总人数=[每边人数-1]×4 或：每层总人数=每边人数×4-4 二、每边人数=每层总人数÷4+1

三、实心方阵的总人数=每边人数×每边人数

四、空心方阵的总人数=（最外层每边人数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4

或：空心方阵的总人数=最外层每边人数×最外层每边人数-（最里层每边人数-2）×（最里层每边人数-2） 可以通过点子图帮助孩子理解方阵的特点及方阵问题中的四个数量关系。

其中第一、四两个数量关系是难点，可以利用下面的图形帮助孩子理解第一、四两个数量关系，在此基础上理解第二个数量关系：



第一个空心方阵的总点数：（11-3）×3×4=96（点）； 第二个实心方阵外层点数：（9-1）×4=32（点）。






【典型例题】

例1.有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人，如果每边站的人数都相等，问每边站几个学生？ 解：我们把16人围成的方形，看作一个方阵的最外层。 由公式：每边人数=每层总人数÷4+1，可得每边人数为： 16÷4+1=5（人）。 答：每边站5个学生。

例2.国庆节前夕，在街中心一塑像的周围，用204盆鲜花围成一个每边三成的方阵。求外面一层每边有鲜花多少盆？ 解：因为：空心方阵的总花盆数=（最外层每边花盆数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。 这里的204盆鲜花也就是总盆数，现在由总盆数求外面一层每边花盆数，可以参考前面的空心方阵图 204=（最外层每边盆数-3）×3×4 解得：最外层每边盆数-3=17 最外层每边盆数=20（盆） 答：外面一层每边有鲜花20盆。

例3.我校五年级的学生排成一个实心方阵队，还剩下5人;如果横竖各增加一排，排成的方阵则缺少26人，五年级共有学生多少人？

解：（1）原方阵中每排人数 （5+26-1）÷2=15（人） （2）五年级共有人数 15×15+5=230（人）

答：五年级共有学生230人。

例4.同学们排练团体操，排成一个方阵，中间的实心方阵是女同学，外面三层是男同学，最外圈两层又是女同学。已知方阵中男同学是108人，问女同学是多少人？

解：我们可以把这个团体分解成三个方阵：3层的男生空心方阵，里面的女生实心方阵，外面的2层女生空心方阵。女同学的人数就是两个女生方阵的人数之和。

先由男生总人数，求出3层的男生空心方阵外层一边的人数： 108÷4÷3+3=12（人）

因为每向里一层,每条边上的 人数就少2，所以：

（1）里面女生实心方阵每行人数为：12-3×2=6（人），总人数为：6×6=36（人）；

（2）外面2层女生空心方阵最外层每边人数为：12+2×2=16（人），总人数为：（16-2）×2×4=112（人）； 女同学总人数为:112+36=148(人)。 答：女同学是148人。




例5.一队战士排成三层空心方阵多出9人，如果在空心部分在增加一层，又差7人，问这队战士共有多少人？ 解：由题意可得空心方阵再往里一层的总人数是：9+7=16（人），每边人数为：16÷4+1=5（人）； 所以3层空心方阵最外层每边人数为：5+2×3=11（人），总人数为：（11-3）×3×4=96（人）； 这队战士的总人数是：96+9=105（人）。 答：这队战士共有105人。 练习题

1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人? 2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?

3.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心五年级参加广播操比赛的一共有多少人?

4.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?

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