初中数学利用非负性解题

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初中数学利用非负性解题

非负性的含义是指大于或等于零。在初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性；平方的非负性；二次根式的双重非负性，即它的被开方数和它的值都是非负的；一元二次方程有实根的条件，即根的判别式为非负；以及方差的非负性。下面从六个方面举例说明它们的运用：

一、利用绝对值的非负性解题

【例1】已知|x4||y2|0，求x，y。

解析 根据绝对值的非负性知，|x4|0，|x2|0，要这两个非负数之和为0，只有每一个非负数都为0，即|x4|0，|y2|0，从而x40，y20，所以x4，y2。



二、利用平方的非负性解题

y3

________________。 【例2】若|x3|(xy1)0，计算：xyxy4

x30

解析 根据绝对值和平方的非负性质，得，解得，x3，y4。

xy10

2

22

y364

所以xyxy9431610。

44

2

2



22xya1①

【例3】已知方程组有实数解，试确定a的取值范围。

②xya1

解析 将方程组进行配方，化成平方形式，利用平方的非负性解题。 将①②2得

22xy2xya12(a1),

22

xy2xya12(a1).

2

(xy)3a1,即

2

(xy)3a

由于两个等式左边均为平方形式，利用其非负性知，3a10，3a0，解之，得

1

a3，即为所求a的取值范围。 3

三、利用二次方根的被开方数的非负性解题

1

【例4】已知yx22x，化简|2y1|y22y1。

21

解析 因为yx22x，由二次根式的被平方数为非负性知：x20且

2

x20，从而x=2。

1

所以y。

2

故有|2y1|y22y1|2y1||y1|(12y)(1y)y。

四、利用算术平方根的非负性解题


【例5】若(x3)23x成立，求x的取值范围。

解析 因为(x3)23x成立，由算术平方根的非负性知，3x0，从而可知，

x3。



【例6】设x、y为实数，且x3

y60，求xy的值。

解析 根据算术平方根的非负性知，x30，y60，又因为它们的和为0。 所以x30,y60，故x3,y6。 所以xy3。



五、利用“”的非负性解题

【例6】已知5x22xyy24x10，求x，y的值。

解析 将其中一个未知数视为一个已知数，整理成一元二次方程的形式，利用其在实数范围内有解的性质，即“”的非负性可求出一个未知数的值。

整理成关于x的一元二次方程的形式，即5x2(2y4)xy210。

因为(2y4)220(y21)16y216y40。 所以(2y1)20。

显然，只有(2y1)20,解得y则可求得x

1， 2

1。 2



六、利用方差的非负性解题

若数组x1、x2、…、xn的平均数为x，则其方差为

____1122222n

S[(x1x)(x2x)(xnx)][(x1x2xn)nx2]。显然，

nn2

_

S0，特别地，由S0得x1x2xnx根据方差的非负性，可以很巧妙地解决

一些问题。



22

_

①xyz3,



【例7】解方程组x2y2z23,②，求出所有的实数解。

333

xyz3,③

解析 视x、y、z为一组数据，则x1。

_

111

S2[(x1)2(y1)2(z1)2][(x2y2z2)312](33)0。

333xyz1，且适合③。

x1,

原方程组有唯一实数解y1,

z1.



【例8】设实数a、b、c、d、e适合abcde8,a2b2c2d2e216，

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