集合之四：容斥原理

2022-04-24 15:58:19 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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集合之四：容斥原理问题

两个集合容斥问题

容斥原理一：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类元素个数+B类元素个数=既是A类又是B类的元素个数+A类或B类元素个数。写成公式形式即：｜A U B｜＝｜A｜+｜B｜一｜A∩B｜

韦恩图：解决简单的两类或三类被计数事物之间的重叠问题时采用韦恩图会更加便捷、直接。

【例】1四年级一班有54人，定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？（）

A．13 B．22 C．33 D．41

【例】2五年级有122名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？（）

A． 30 B．35 C．57 D．65

【例】3学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组共有多少人？（）

A．25 B．32 C．33 D．41

【例】4某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人，问多少个同学两道题都没有答对？（）

A．1 B．2 C．3 D．4 三个集合容斥问题

容斥原理二：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数=A类或B类或C类元素个数+既是A类义是B类的元素个数+既是A类又是B类的元素个数+既是B类又是C类元素个数—既是A类又是B类而且是C类的元素个数。写成公式形式即：｜A U B U C｜＝｜A｜+｜B｜+｜C｜—｜A∩B｜—｜B∩C｜—｜C∩A｜+｜A∩B∩C｜

【例】5某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名？（）

A．12 B．14 C．16 D．18

【例】6对厦门大学计算机系100名学生进行调查，结果发现他们喜欢看NBA和足球、赛车。其中58人喜欢看NBA；38人喜欢看赛车，52人喜欢看足球，既喜欢看NBA又喜欢看赛车的有18人，既喜欢看足球又喜欢看赛车的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看足球的有（）。

A．22人 B． 28人 C．30人 D．36人

【例】7实验小学举办学术书法展，学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？（）

A．6 B．10 C．16 D．20

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