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2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1
(1)若lim(exax2bx)x1,则( )
2
x0
(A)a
1
,b1 (B)a,b1 (C)a
111
,b1 (D)a,b1 2
222
(2)下列函数中,在x0处不可导的是( ) (A)fxxsinx (B) fxxsinx
(C)
fxcosx
(D)
fxcosx
(3)设函数f(x)
1,x02ax,x1
1,x0,g(x)
x,1x0,若f(x)g(x)在R上连续,则(
xb,x0
(A)a3,b1 (B) a3,b2 (C)
a3,b1
(D)
a3,b2 (4)设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且
1
0
f(x)dx0,则( )
(A)当f(x)0时,f(1)0
(B)1
2 当f(x)0时,f(2)0
(C)(x)0时,f(1
当f2
)0
(D) 当f(x)0时,f(12
)0
2
(5)设M
21x
2
1x2dx,N2xdx,K2
1x
1cosx
dx,则( ) 2e2
(A)MNK (B)MKN (C)KMN (D)KNM
(6)
0
x2
1
2x2
1
dx
2x
(1xy)dy0
dx
x
(1xy)dy( )
(A)
5
7
(D)
73
(B)
5 6
(C) 3
6
110(7)下列矩阵中与矩阵011
相似的为( )
001111101 (A)
011
(B)
011001
001
)
111 (C) 010
001101
(D) 010
001
(8)设A,B为n阶矩阵,记rX为矩阵X的秩,则( ) X,Y表示分块矩阵, (A) rA,ABrA
(B) rA,BArA (D) rA,BrATBT
(C) rA,BmaxrA,rB
二、填空题:9~14题,每小题4分,共24分. (9)limx[arctan(x1)arctanx]
x
2
(10)曲线yx2lnx在其拐点处的切线方程是 (11)
2
5
1
dx
x24x3
xcos3t
,在t对应点处的曲率为 (12)曲线3
4ysint
(13)设函数zx,y由方程lnze
z1
xy确定,则
z
1 x(2,)
2
(14)设A为3阶矩阵,1,2,3是线性无关的向量组,若A12123,A2223,A323, 则A的实特征值为 .
三、解答题:15~23小题,共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
求不定积分e2xarctanex1dx.
(16)(本题满分10分)
已知连续函数f(x)满足f(t)dttf(xt)dtax2
0
0
xx
(I)求f(x);
(II)若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.
(17)(本题满分10分)
xtsint,
设平面区域D由曲线(0t2)与x轴围成,计算二重积分(x2y)d.
y1costD
(18)(本题满分10分)
已知常数kln21.证明:(x1)(xlnx2klnx1)0. (19)(本题满分10分)
2
将长为2m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.
(20)(本题满分11分)
已知曲线L:y
42
x(x0),点O0,0,点A0,1.设P是L上的动点,S是直线OA与直线AP及曲线L 9
所围成图形的面积,若P运动到点3,4时沿x轴正向的速度是4,求此时S关于时间t的变化率.
(21)(本题满分11分)
设数列xn满足:x10,xnexn1exn1(n1,2,),证明xn收敛,并求limxn.
n
(22)(本题满分11分)
设实二次型f(x1,x2,x3)(x1,x2x3)2(x2x3)2(x1ax3)2,其中a是参数.
(I) 求f(x1,x2,x3)0的解; (II) 求f(x1,x2,x3)的规范形.
(23)(本题满分11分)
12a1a2
已知a是常数,且矩阵A=130可经初等列变换化为矩阵B=011.
27a111
(I) 求a;
(II) 求满足APB的可逆矩阵P.
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