高数

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1习题 17

1. 当x0时 2xx2 与x2x3相比 哪一个是高阶无穷小？ xx2

lim0, 解 因为lim

x02xx2x02x

所以当x0时 x2x3是高阶无穷小, 即x2x3o(2xx2).

x2x3

2. 当x1时 无穷小1x和(1)1x3, (2)

1

(1x2)是否同阶？是否等价？ 2

(1x)(1xx2)1x3

limlim(1xx2)3, 解 (1)因为lim

x11xx1x11x

所以当x1时, 1x和1x3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.

1

(1x2)

1

lim(1x)1,  (2)因为lim2

x11x2x1

1

所以当x1时, 1x和(1x2)是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.

2

3. 证明: 当x0时 有: (1) arctanx~x; x2

(2)secx1~.

2

证明 (1)因为lim

yarctanx

lim1(提示: 令yarctan x, 则当x0时, y 0),

x0y0tanyx

所以当x0时 arctanx~x. (2)因为lim

secx11cosx

2lim2lim

x012x0xcosxx0

x2

2sin2

xx

2sin

2lim22x0xx

22



2

1,

x2

所以当x0时, secx1~.

2

4. 利用等价无穷小的性质 求下列极限: (1)lim

tan3x

;

x02x

sin(xn)

x0(sinx)m

(2)lim(n, m为正整数);

(3)lim

x0

tanxsinxsinx

2

3

;

.

(4)lim

sinxtanx(1x1)(1sinx1)

x03


解 (1)limtan3xlim3x3.

x02xx02x21 nmnsin(xn)xlim0 nm. (2) lim

x0(sinx)mx0xm

 nm

1x2sinx(11)

sinxlim1cosxlim21. cosx (3)limtanxlim

x0x0x0cosxsin2xx0x2cosx2sin3xsin3x (4)因为

xx1

sinxtanxtanx(cosx1)2tanxsin2~2x()2x3(x0),

222 1x1

3

2

3

1

~x2(x0),

(1x2)231x213sinx1sinx1

~sinx~x(x0),

x2

1sinx1

1x3

sinxtanx

所以 limlim23.

x03

(1x21)(1sinx1)x01x2x

3

5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) ~ 自反性);

(2)若~, 则~对称性); (3)若~, ~, 则~传递性). 证明 (1)lim1, 所以~ ;





(2)若~, 则lim1, 从而lim1. 因此~;



(3)若~, ~, limlimlim1. 因此~.



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