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【拓展1】 排列组合中的涂色问题
设一个圆分成P1，P2，„，Pn，共n个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m≥3，n≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法？
【分析】设an为符合要求的对n个扇形的涂色方法。
对扇形P1有m种涂色方法，扇形P2有m－1种涂色方法，扇形P3也有m－1种涂色方法，„„„„扇形Pn也有m－1种涂色方法．于是，共有m(m1)n1种不同的涂色方法。但是，anm(m1)n1，因为这种涂色方法可能出现P1与Pn着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从m(m1)n1中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P1与Pn看作一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜色对n－1个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙），不同的涂色方法有an1种，于是，有anm(m1)n1－an1（n≥3），①．显然，a3m(m1)(m2)．①式就是数列的递推公式，可推导出an的通项公式：an(m1)n(1)n(m1)(n3)．
“设一个圆分成P1，P2，„，Pn，共n个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m≥3，n≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的通项公式：即
an(m1)n(1)n(m1)(n3)．
例1．要用四种颜色给四川、青海、西藏、云南四省（区）的地图染色（图1），每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同的染色方法有多少种？
解析 先给四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有
4×3×2×2＝48 种．
西藏
青海
四川
云南图 1
例2．在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有__732__种栽种方案；若要求四种不同的植物全部栽种，则有__480__种栽种方案．，。
例3．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，现有5种不同颜色的花可供选择，则不同的栽种方法有_1200__种； 若要求5种不同颜色的花全部栽种，则不同的栽种方法有_600_种．
例4．用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜
色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
2 1
①
③ ④
3 4
②
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240
例5．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 分析：可把问题分为三类：
4
四格涂不同的颜色，方法种数为A5；有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小12方格涂相同的颜色，涂法种数为2C5A4；
2两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为A5，
因此，所求的涂法种数为A52C5A4A5260
2122
例6．四棱锥PABCD，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？ P 1
2
5
3 D
4
C
A B
解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：
3
（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有A4种；
14（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有C2 A4；314故满足题意总的涂色方法总方法交总数为A4C2A472.
也可转化成环行求解
本文来源：https://www.wddqxz.cn/c23967081a2e453610661ed9ad51f01dc2815719.html
2022-04-17
