单位圆在三角函数教学中的作用(1)

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单位圆在三角函数教学中的作用

在过去的教材体系中，三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）一直是与三角函数线并驾齐驱的两大解题法宝，是数形结合思想的完美体现。但学生往往重后者而疏前者，因此老师们在“三角函数线的解题功能”方面有较多的探讨。如今，随着新课程改革三角函数定义的单位圆化，给了三角函数线更宽的舞台，在三角函数这一章节知识的展开中，三角函数线起到了前所未有的作用。本文旨在挖掘“单位圆——三角函数线”在教学中的功能。 教学功能一．三角函数“单位圆定义法”与原教材“终边定义法”之比较：

从数学史看，“终边定义法（sin

y

等）”源自三角学（锐角三角函数），锐角三r

角函数是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的。但是，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的。所以作为任意角三角函数的定义，当然是选择能够表现周期性的单位圆更为恰当。

P(x,y)是角的终边与单位圆的交点,定义siny等，这样的P点是以2为周期的，即正弦以2为周期。所以，用单位圆定义更能体现任意角三角函数的本质——周期性。

另外，该定义可以在学诱导公式前求特殊角的三角函数值，也可以判断三角函数在各象限内的符号。

教学功能二．单位圆中理解弧度制：

采用弧度制度量角，就是用圆的半径来度量角，当此圆为单位圆时，由扇形弧长公式lr知，l。所以，在单位圆中，角度就是弧长l。

P 这样，就可以把三角函数中自变量与函数值之间的对应关系理解为：

 把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的

O Q x 正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴图1

上的任意一个实数（点Q）就是被缠绕到单位圆上的点P(cos，sin)。如图1，线段OQ是柔软的细线弧OP的展开。 y

P 这一思想在利用三角函数线作三角函数图象时另有妙用。

A 教学功能三． “同角三角函数的基本关系”中的公式推导和应用（求值、证明）： M O x

T 图2 sin

tan”的勾股定理“MPOM1”。关系式二“，即相似三角 cosy

图3 MPAT

AT”形比式“。 M1 O M2

OMOAx

33

P2 2．求值：已知sin，求cos、tan的值。如图3，MP， y3P1

5

55

4343

,),P2(,)。这样，很清楚，分第 那么这样的点P有两个，P1(y 5555Q

2

2

22

1．公式推导：如图2，关系式一“sincos1”，即RTOMP中

三、四象限角两种情况讨论，下略。

3．求证：

cosx1sinxOM1MPRPSR

。即证，即证， 

1sinxcosx1MPOMRQRP

而此式是RTPQS中的射影定理。（在其它位置同理可得）

教学功能四．诱导公式的推导：

举两例，如图5，观察三角函数线可知，与

R O 图4

S

P 

M

x

3

的正弦线等于 的正弦线相等，余弦相反；如图6，2

3

的余弦线的相反数， cos()sin。

2

图5

y



x

3

2

y



x

图6

O O




教学功能五．利用正弦函数线作正弦曲线：

此处，新老课程都采用同样的方法，将单位圆十二等份，然后平移出十二条正弦线，连接十二个平移出的P点，得ysinx,x[0,2]的图象。实际上，此法仍是描点作图。 y 问题：如何给图7中的钝角描点(,sin)？

P

横坐标x等于劣弧OP的长（由功能二可知），用一条柔软 的细线将劣弧OP平展到射线Ox上，得横坐标x对应的点。然 M O 后，将x的正弦线平移过去得纵坐标sin，得点(,sin)。

图7



教学功能六．三角函数的性质：

如图8，当角x的终边绕原点从x的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时，

(,sin)

P’



M’

x

3

自变量x的终边按照0→→→→2→…的规律周而复始变化着，

22

正弦线MP按照 0→1→0→–1→0→…的规律周而复始变化着，

余弦线OM按照1→0→–1→0→1→…的规律周而复始变化着， 正切线AT按照 0→→0→→0→…的规律周而复始变化着， 由上述规律，可得性质：周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、 定义域、值域……

教学功能七：其它解题功能：主要功能：等式与不等式、比较大小。 1．由于单位圆中弧长l|x|r|x|，从图8中易知当0x

y

x

图8

y 1

ytanx

yx



2

时，

ysinx



x 0 sinxxtanx。此不等式能指导作图9，三者唯一的交点是原点。 2

图9 11y sinx(1)x22y 2．解不等式组 1P P y1P 2cosx(2)

M O M x 2M

O x (1)、(2)式的解x的终边所在区域用阴影表示分别如图

图10 P 25

2kx2k,kZ} 10、11所示。取公共部分得解集{x|图11 36

sincos1、sincos1、3．比较MP、OM的（绝对值）大小，易解以下不等式：

sincos0、sincos0（也可将式子加号变减号），等等。诸如sincos与0、1的大小关系。

P y

例如，的终边位置如图所示， 0cosxsin1，可得 30sincos1， sincos1。 4

M O x

从这个角度来看，新课程或许在告诉我们，可以将三角函数统一在单位圆 与三角函数线之下，让学生理解知识的来龙去脉、推导过程，最主要的是使学生 图12 学会用联系的观点看三角函数，数形结合地研究三角函数的定义、公式、图象与 性质，明白单位圆与三角函数线可以研究什么问题、怎样研究这些问题，动态地 分析问题。

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