正确把握导数与函数单调性之间的关系

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正确把握导数与函数单调性之间的关系

摘要】为了适应现代教育的需要，数学新课程恰当精简了传统课程的内容，更新了知识，强调灵活性和综合性，重视数学应用。导数是新增的教学内容，也是高中数学的基础知识，还是高等数学的初步内容。导数是解决函数性态问题的重要工具，为研究函数相关问题提供了有效的途径和简便的方法，。在教学时，坚持以导数单调性研究为中心，着重培养学生理解和应用知识的能力，关键是要让学生正确理解导数与函数单调性之间的关系。 【关键词】导数；单调性；增加的；减少的；严格单调；充要条件 导数作为沟通初、高等数学知识的重要衔接点，具有很强的知识交汇功能，拓宽、优化和丰富了许多数学问题解决的思路、方法和技巧，体现了新课程的要求和特点。现在普通高中课程标准试验教科书中在用导数定义函数单调性时大致相同，如北师大版高中数学选修2-2中是这样定义的： 如果在在某个区间内，函数的导函数则在这个区间上，函数是增加的； 如果在在某个区间内，函数的导函数则在这个区间上，函数是减少的. 在高中数学必修1中已经学习了函数单调性的定义，并理解用定义判定简单函数的单调性的基本思路，在教学中可以引导学生认识到单调性解决的是随着自变量的增加，是增加的还是减少的问题，而导数刻画的是因变量相对于自变量的变化快慢问题，则导数是比单调性更加精确地反应函数变化趋势的一个量，因此应较多的从具体函数实例出发，结合函数图像和导数的几何意义透彻理解导数与函数单调性之间的关系，这样比较直观，学生也容易接受，丰富学生的感性认识，也进一步的让学生理解了函数单调性的定义。同时需要给学生强调的是，该定义只是在这个区间上单调的充分不必要条件。例如 ,虽然但它在整个定义域内是增加的。 用导数的方法来研究函数单调性的时，用该定义求已知函数单调区间是没任何问题的,因为单调区间可写为开区间，也可写为闭区间（只要函数在端点处有定义域）。如： 例1：求函数 解：由导数公式和求导法则可得 当时，因此，在这个区间上函数是增加的. 当时，因此，在这个区间上函数是减少的. 所以，函数的递增区间为；递减区间为. 但是在用导数的方法解决已知函数单调性求参数取值范围问题时就要用到函数单调的充要条件。高中数学教材必修1中关于函数单调性定义的是严格单调1的，若用导数来定义为： 若函数在内可导，则在内严格递增（递减）的充要条件为： （1）对一切有 ()， . （2）在内的任何子区间上不恒为0 证明：下证在内严格递增. 充分性 设为内任意一点，当 充分小时，任有 +. 由于在内递增，所以总有 . 让由导数的定义及极限的不等式性质，可得， 所以条件(1)满足. 条件（2）也必成立,如若不然，在内某子区间上恒等于0，则由拉格朗日中值定理的推论12，在这个子区间上等于某一常数，这与在内严格单调的假设矛盾。 必要性 设在内任取两个数不妨设 由拉格朗日中值定理，函数在上有 由于(1)知，在上恒有，所以即 则函数在内递增. 现在证明必有如若不然，成立，那么在上任意取一点，因为为递增函数，故有，即在上取常数值，而这与条件（2）矛盾。所以必有即函数在内严格递增。 类似地可证严格递减。 在求如下问题时就必须用到函数严格单调的充要条件。 例2：已知a为实数， ,若在和上都是递增的，求a的取值范围？ 解：由导数公式和求导法则可得 ，图像为开口向上的且过(0,4)的抛物线， 由条件得 ， 当a=2或a=-2时，不恒为零，所以a的取值范围为[-2,2]. 【点评】在已知函数单调性求参数取值范围时，应令（或）恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使得恒为0，若能，则这个参数值应舍去，若不恒为0，则由（或）恒成立解出的参数的取值范围确定。 高考重视新增课程知识与传统知


识内在联系的考查，将新旧知识有机结合，并灵活运用，也是学生应用创新能力的体现。从近几年的全国高考新课程卷的命题重点来看，利用导数研究函数性态的数学试题有上升的趋势，当前中学数学中导数的工具性和应用重点体现在函数的单调性，在教学中应让学生领悟导数的思想内涵，突出导数的工具价值，提升学生的应用意识.对该内容学生应从基本概念、基本技能到思想方法都要清楚明了、烂熟于心，形成完善的认知结构，从而去解决更高层次的问题。 注释11： 设函数为定义在D上的函数，若对于D中任意两个数，当时，总

有 1. ，则称为D上递增函数，特别当总成立严格不等式时，称为D上严格递增函数. 2. ，则称为D上递减函数，特别当总成立严格不等式时，称为D上严格递减函数. 递增和递减函数统称为单调函数，严格递增和严格递减函数则统称为严格单调函数。 注释12： 拉格朗日中值定理推论1：设函数在[a，b]内连续，在（a，b）内可导，若，则在（a，b）内为一常数。 【参考文献】 [1]《普通高中数学课程标准（实验）》.人民教育出版社,2003年4月. [2]徐斌艳.《数学教育展望》.华东师范大学出版社,2003年07月. [3] 王尚志.《理解与实践高中数学新课程——与高中数学教师的对话》.北京高等教育出版社,2007年3月. [4]《普通高中课程标准实验教科书数学1》（北师大版）.北京师范大学出版社,2005年5月第4版. [5]《中学数学教学参考》,2008年第1-2期（高中）. [6]《数学分析》（上册，第二版） 华东师范大学数学系 1990年2月.

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