线性代数方法建模7习题三--数学建模案例分析

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习题三



1、某一生物的基因对具有AA，Aa，aa三种类型在培育后代的过程中用控制结合的方法进行，在每一代中总是用Aa型基因对的生物与这种基因型的生物结合产生子代。重复下去后问各代生物中这三种基因型所占的比例怎样变化？

2、设一生物基因型为AA，Aa，aa三种，从同一对父母的大量后代中，随机地选取一对后代结合培育子代，如此继续下去，考察一系列后代基因类型的演变情况。

3、社会学的某些调查结果表明儿童受教育的水平依赖于他们父母受教育的水平。调查过程是将人们分成三类：E类：这类人具有初中或初中以下的文化程度；S类：这类人具有高中文化程度；C类：这类人受过高等教育。当父或母（指文化程度较高者）是这三类人中的某一类型时，其子女将属于这三类型中的任一种的概率由下表给出：

子女

E S C

父母

E 0.6 0.3 0.1 S 0.4 0.4 0.2 C 0.1 0.2 0.7



问（1）属于S类的人口中，其第三代将接受高等教育的概率是多少？（2）假设不同的调查结果表明，如果父母之一受过高等教育，那么他们的子女总是可以进入大学，修改上面的转移矩阵。（3）根据（2）的解，每一类型人口的后代平均要经过多少代，最终都可以接受高等教育？ 4、对城乡人口流动作年度调查，发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势，每年农村居民的5%移居城镇而城镇居民的1%迁出，现在总人口的20%位于城镇，假设城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少？两年以后呢？十年以后呢？最终呢？

5、某城镇有煤矿、电力和地方铁路三个企业作为它的主要经济系统。生产价值一元钱的煤，需消耗0.25元的电费和0.35元的运输费；生产价值一元钱的电，需消耗0.40元的煤费、0.05元的电费和0.10元的运输费；而提供价值一元的铁路运输服务，则需消耗0.45元的煤费、0.10元的电费和0.10元的运输费。在某个星期内，除了这三家企业之间的彼此需求，煤矿得到50000元的订单，电力公司得到25000元的电量供应要求，而地方铁路得到价值30000元的运输需求。试问： （1）这三个企业在这星期各应生产多少产值才能满足内外需求？除了外部需求（是指这三个企业之外的其它行业，比如邮政、教育等等行业对这三个企业提供的产品或服务的需求），试求出这星期各企业之间的消耗需求，同时求出各企业在这星期新创造的价值（即产值中除去各企业的消耗所剩的部分）。

（2）如果煤矿需要增加总产值10000元，它对各个企业（指煤矿、电力和地方铁路）的产品或服务的完全需求分别将是多少？

（3）如果假定三个企业的外部需求仍是用于城镇的各种消费和积累，其中用于消费的产品价值分别为35000元、18000元和20000元。而假定三个企业的新创造价值仅包括支付劳动报酬（工资等）和纯收入，其中支付劳动报酬分别为25488元、10146元和14258元，试分析各企业产品使用情况的比例关系；并分析该星期系统的经济效益。

（4）若在以后的三个星期内，企业外部需求的增长速度是：煤每周增长15%，电力每周增长3%，铁路每周运输增长12%，那么各企业的总产值将平均每周增长多少？

6、在种群年龄结构的估算模型一节的例子中，假设使用一种除虫剂以控制昆虫的数目，已知使用后各周龄昆虫的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？

7、设已知一份密文为Hill密码体系，其中出现频数最高的双字母是RH和NI，而在明文语言中，出现频数最高的双字母是TH和HE。由这些信息按下表给出的表值能得到什么样的加密矩阵？


A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

8、机器人正开始在国内外的不同层次上应用于工业生产、水下探测、核电开发、军事研究等领域和部门。当一个机器人在某一工业环境工作时，它就必须经常识别那些从外形（严格说是外形侧面）看来为园形或椭圆形的测量仪器、工具柄等基本设备，以便执行进一步的操作行为。机器人识别给定形状工具柄的常用方法的基本原理为：在所需操纵的工具柄上放置适当数量的传感器，这些传感器不断向四周发出电信号。机器人身上安置有接收电信号的硬件装置，根据这些信号，机器人将估算出各个传感器当时所在位置，然后，再利用这些数据通过计算机处理，获得工具柄的所在位置。由于硬件设备的限制和测量的随机偏差，所获得的传感器当时位置数据是有误差的，也就是说，一般不存在完全符合工具柄形状大小的曲线，使所得位置点的数据均位于该曲线上。因此，为了增强识别该工具柄的准确性和可靠性，工具柄上放置的传感器应多于确定该定形曲线所需的最少位置点数目（能否获得比较准确的工具柄位置，对机器人能否有效抓握、操作该工具柄起着关键的作用）。

（1）现在，在某一园形工具柄上放置m个传感器，一机器人在某一时刻测得这些传感器的位置分别为点(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym)，试建立数学模型，确定此时该工具柄边界（园）所在的位置。

（2）若在某一园形工具柄上放置了6个传感器，机器人在某一时刻测得这些传感器的位置点见下表：

x 1 2 5 7 9 3 y 7 6 8 7 5 7



用你在（1）中建立的数学模型，计算出此时该工具柄边界（园）的曲线方程。

（3）若是在某一椭园形工具柄上放置m个传感器，一机器人在某一时刻测得这些传感器的位置分别为点(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym)，试建立数学模型，确定此时该工具柄边界（椭园）所在的位置。

（4）若在某一椭园形工具柄上放置了7个传感器，机器人在某一时刻测得这些传感器的位置点见下表：

x 8 3 2 7 6 6 4 y 1 6 3 7 1 10 0



用你在（3）中建立的数学模型，计算出此时该工具柄边界（椭园）的曲线方程。

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