不等式公式

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不等式公式

一、常用不等式

（1）a,bRab2ab(当且仅当ab时取“”号） (2) a,bR

3

3

3

2

2



ab

ab(当且仅当ab时取“”号）

2

(3) abc3abc(a0,b0,c0)

（4）柯西不等式(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR

2

2

2

2

2

三角形式√(a＋b)＋√(c＋d)≥√[(a-c)＋(b-d)]

向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a,…,an)，β=(b1,b,…,bn)（n∈N，n≥2）



（5）ababab

二、两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

aba2b2

ab

1122ab2

三、一元二次不等式axbxc0或(0)(a0,b4ac0),如果a与

2

ax2bxc同号则其解集在两根之外；如果a与axbxc异号，则其解集在两根之间，

2

2

简言之：同号两根之外，异号两根之间。

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)

xx1或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2) 四、含有绝对值的不等式

当a0时，有xaxaaxa;xaxaxa或

2

2

2

2

xa

四、无理不等式

（1）

f(x)0



f(x)g(x)g(x)0

f(x)g(x)

f(x)0

f(x)0

f(x)g(x)g(x)0或

f(x)g(x)2g(x)0

（2）


（3）

f(x)0

f(x)g(x)g(x)0

f(x)g(x)2

f(x)

六、指数不等式与对数不等式 （1）当a1时，a

ag(x)f(x)g(x)

f(x)0

logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

（2）当0a1时，a

f(x)

ag(x)f(x)g(x)

f(x)0

logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

琴生不等式： 凸函数的概念：

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有

(f(x1)+f(x2))/2≥f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或下凸函数。

【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≤f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或上凸函数。



设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸);设f(x)为凹函数，f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸),称为琴生不等式（幂平均）。

本文来源：https://www.wddqxz.cn/c000d7de5022aaea998f0fb7.html