蒙特卡罗算法

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第一阶段：算法

——蒙特卡洛算法

蒙特卡罗方法（MC）（Monte Carlo）：

蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战进行研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：

当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。 可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：

构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 例. 蒲丰氏问题

为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（ l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式：

P

2l2l2lN

 求出π值 

apaan

其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。

一些人进行了实验，其结果列于下表 ：

实验者

沃尔弗(Wolf)

斯密思(Smith)

福克斯(Fox)

拉查里尼

年份 1850 1855 1894 1901

投计次数 5000

3204 1120

3408

π的实验值 3.1596

3.1553

3.1419

3.1415929 ）来描述，x



(Lazzarini) 设针投到地面上的位置可以用一组参数（x,θ



为针中心

1


的坐标，θ为针与平行线的夹角，如图所示。

任意投针，就是意味着x与θ都是任意取的，但x的范围限于［0，a］，夹角θ的范围限于［0，π］。在此情况下，针与平行线相交的数学条件是



如何产生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值，表示x在［0，a］上是均匀分布的，其分布密度函数为：

1/a,0xa

f1(x)

其他0,

1/,0

类似地，θ的分布密度函数为： f2()

其他0,

因此，产生任意的（x,θ）的过程就变成了由f1(x)抽样x及由f2(θ)抽样θ的过程了。由此得到：

xa1



2



其中ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀分布的随机变量。 每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均匀分布的随机变量中抽样得到（x,θ），然后定义描述针与平行线相交状况的随机变量s(x,θ)，为 1,当xlsin

s(x,)



0,其他

如果投针Ｎ次，则

1N

sNs(xi,i)

Ni1



P s(x,)f1(x)f2()dxd 是针与平行线相交概率Ｐ的估计值。事实上，

dlsindx 2l00 aa2l2l

 于是有 

aPasN



2

针在平行线间的位置

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