小五奥数第14讲 余数问题

2022-04-21 01:10:07   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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14 余数问题

在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质(abc均为自然数): 1)余数小于除数。

2)被除数=除数×商+余数; 除数=(被除数-余数)÷商; =(被除数-余数)÷除数。

3)如果ab除以c的余数相同,那么ab的差能被c整除。例如,1711除以3的余数都2,所以17-11能被3整除。

4ab的和除以c的余数,等于ab分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)例如,2316除以5的余数分别是31,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如,2319除以5的余数分别是34所以23+19除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。

5ab的乘积除以c的余数,等于ab分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。例如,2316除以5的余数分别是31,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3。注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如,2319除以5的余数分别是34,所以23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。 性质(4)(5)都可以推广到多个自然数的情形。

1 5122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数。 分析与解:由性质(2)知,除数×商=被除数-余数。 5122-66=5056

5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数,得到 5056=26×79

由性质(1)知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在6799之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79

2 被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。 解:因为被除数=除数×商+余数 =除数×33+52

被除数=2143-除数--余数



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=2143-除数-33-52 =2058-除数,

所以 除数×33+52=2058-除数, 所以 除数=2058-52)÷34=59 被除数=2058-59=1999 答:被除数是1999,除数是59

3 甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商1132,求甲、乙两数。 解:因为 =乙×11+32

所以 +=乙×11+32+=乙×12+32=1088 所以 =1088-32)÷12=88 =1088-=1000

答:甲数是1000,乙数是88

4 有一个整数,用它去除70110160得到的三个余数之和是50。求这个数。

分析与解:先由题目条件,求出这个数的大致范围。因为50÷3=16„„2,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16。由三个余数之和是50知,除数不应大于70,所以除数在1770之间。 由题意知(7+110+160-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数,得到290=2×5×292901770之间的约数有2958

因为110÷58=1„„5250,所以58不合题意。所求整数是29 5 478×296×351除以17的余数。

分析与解:先求出乘积再求余数,计算量较大。根据性质(5),可先分别计算出各因数除以17余数,再求余数之积除以17的余数。

478296351除以17的余数分别为2711,(2×7×11)÷17=9„„1 所求余数是1

6 甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片?

分析与解:甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数(简称甲数)除以3611;两代表团余下的人正好坐满一辆车,说明乙代表团余36-11=25(人),即乙代表团的人数(简称乙数)除3625;甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数×乙数”张



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照片,因为每个胶卷拍36张,所以最后一个胶卷拍的张数,等于“甲数×乙数”除以36的余数。 因为甲数除以3611,乙数除以3625,所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。

11×25)÷36=7„„23

即最后一个胶卷拍了23张,还可拍36-23=13(张)。

由例6看出,将实际问题转化为我们熟悉的数学问题,有助于我们思考解题。 练习14

1.今天是星期六,再过1000天是星期几?

2.已知两个自然数abab),已知ab除以13的余数分别是59,求a+ba-ba×ba2-b2各自除以13的余数。

3.2100除以一个两位数得到的余数是56,求这个两位数。

4.被除数、除数、商与余数之和是903,已知除数是35,余数是2,求被除数。 5.用一个整数去除345543所得的余数相同,且商相差9,求这个数。 6.有一个整数,用它去除312231123得到的三个余数之和是41,求这个数。 7.2000年五月有5个星期三、4个星期四,这个月的一日是星期几?



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