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势能的特点和应用
我们知道如果一个力做功跟物体的运动过程无关只跟物体的初末位置有关，那么这个力被称为保守力，每一个保守力都对应着一种势能，势能的大小是跟位置有关的，高中阶段我们学过不少势能，重力势能，电势能，分子势能等。我们分析重力势能，电势能，分子势能和它们对应的保守力的关系会发现在一个过程中势能的减少量跟这个保守力做的功是相等的。实际上不止这三种势能，所有的势能都有这个特点。高考时不仅会考我们高中阶段学过的势能，还有可能出现一些从来没学过的势能，但是只要我们理解了势能跟对应的保守力做功之间的关系就能把问题顺利解决。
一、 万有引力势能
由于万有引力对物体做功跟物体的运动过程无关只跟物体的初末位置有关，所以我们可以定义一个跟万有引力对应的势能——万有引力势能。我们学过重力势能，实际上重力势能是万有引力势能在地球表面附近的近似表示。
例1（2015年房山一模卷）天宫一号是我国研发的一个目标飞行器，目的是作为其他飞行器的接合点，是中国空间实验室的雏形，于北京时间2011年9月29日21时16分03秒发射升空。 （1）若万有引力常量为G，地球质量为MD，地球半径为RD，天宫一号离地面的高度为H，求：天宫一号的运行周期T；
（2）发射天宫一号的速度必须大于第一宇宙速度，试推导第一宇宙速度的表达式；若RD=6370km，g取9.8m/s，求出第一宇宙速度的值；
（3）若万有引力常量为G，中心天体的质量为M，质量为m的物体距中心天体r时具有的引力势能为
2
Ep
GMm
（以无穷远处势能为0）。 r
①求出第二宇宙速度的值；
②若把地球绕太阳公转的轨道近似认为是圆，且不计其它星体对飞行物体的作用力，地球的公转速度为29.8km/s，求第三宇宙速度。
解析：（1） 在天宫一号飞行过程中，地球对它的万有引力提供向心力，G
MDm
R
D
H
2
=
RDH422
m2(RD+H) ，可以解得，T = 2π(RD+H)；（2）第一宇宙速度就是近地卫星绕地球运行时
GMTD
MDmv2
的速度，在地球表面附近万有引力近似等于重力，有 G2 = m = mg，解得，第一宇宙速度
RDRD
GMDMmMDmv2
v = = gRD，代入数据得，v = gRD = 7.9 km/s；(3)由G2 = m，可得：GD
RDRDRDRD
= mv，若摆脱地球的约束，在摆脱地球的束缚过程，即从地球到无穷远在万有引力的作用下恰好减速到零的过程中万有引力做的功等于万有引力势能的减少量，运用动能定理则有：0-2
12
mv2 = W2
万
=-G
MDm
-0 可得：v2 = 2v = 11.2 km/s，同理：在地球绕太阳公转轨道运行的物体绕太阳做圆RD
v2MmMTm
运动时 G2 = mT， GD = mv2T ，vT = 29.8 km/s，摆脱太阳的约束速度为vTx
RTRDRT
0-
1Mm2
mvTx = - GD - 0 ， 解得 vTx = 2 vT = 42.2 km/s。由于随地球绕太阳公转的物体已具2RD
有地球的公转速度29.8km/s，则只需沿太阳公转方向的速度达到 vw = vTx - vT = 12.4 km/s 即可又因为发射地球表面的物体还需摆脱地球约束的动能
12
mv2，则：发射地球表面的物体摆脱太阳约束2
的第三速度为v3，有
121212
mv3 = mv2 + m vw，解得：v3 = 16.7 km/s 。 222
例2（2013年安徽卷）质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为
Ep
GMm
，其中G为引力常量，M为地球质量。该卫星原来的在半径为R1的轨道上绕地球做匀速r
圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为（ ）
A．GMm(
1111) B．GMm() R2R1R1R2
C．
GMm11GMm11() D．() 2R2R12R1R2
解析：质量为m的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得：
11GMmGMmMmv2
G2m，故人造地球卫星的动能Ekmv2，而引力势能Ep，人造地
22rrrr
球卫星机械能E=EP+Ek。人造卫星因摩擦而产生的热量，就等于其克服摩擦力所做的功，由动能定理得：
12 12
mv2-mv1= Wf + W万，而万有引力所做的功W万就等于引力势能的减少量，再根据人造卫星22
因摩擦而产生的热量Q =- Wf，可得：Q
GMm11
()。正确选项：C。 2R2R1
点评：我们虽然没有学过万有引力势能，但根据所有势能都遵守的规律一样可以解决万有引力势能相关的问题。我们在学习的过程中要学会举一反三。
二、 弹性势能
虽然在学习机械能时我们提到了弹性势能，但弹性势能的计算公式并不要求我们掌握。在高考中曾多次出现弹性势能有关的计算，这时我们只能根据弹性势能跟弹力做功的关系来解决。
例3（2015年北京卷）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计.物块（可视为质点）的质量为 m，在水平桌面上沿 x 轴运动，与桌面间的动摩擦因数为 µ.以弹簧原长时物块的位置为坐标原点 O，当弹簧的伸长量为 x 时，物块所受弹簧 弹力大小为 F=kx,k 为常量. （1）请画出 F 随 x 变化的示意图；并根据 F-x 的图像求物块沿 x 轴从 O 点运动到位置 x 的 过程中弹力所做的功.
a. 求弹力所做的功.并据此求弹性势能的变化量；
b. 求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩 擦力势能”的概念.
解析：（1）弹簧弹力与位移的知图像与坐标轴围成的面积即为弹图像如图，由面积法可力所做的功， 即
1
Wkx2；（2）a:由图像可知，物体由 x1−x2的过程中，
2
1212
弹力做功：Wkx1kx2，根据弹力做功与弹性势
22
1212
能之间的关系有W=−∆EP得：EPkx2kx1，b:在此过程中摩擦力做功
22
Wfmg(2x3x2x1)
。我们可以看出摩擦力做功与路程成正比，而非像弹簧弹力做功一样与
路径无关，而只与初末位置有关，所以无“摩擦力势能”的概念。
点评：本题不仅考查了势能与做功的关系，还让同学们根据势能的特点说明为什么没有摩擦力势能，其实就是解释为什么摩擦力不是保守力，出题思路比较新颖。
三、 分子势能
学习热学时我们知道由于分子间存在相互作用的引力和斥力，引力和斥力做功只与它们的初末位置有关，因此存在跟分子力相对应的分子势能。在一个过程中分子势能的减少量也等于分子力所做的功。
例4（2012年海南卷）两分子间的斥力和引力的合力F与分子间距离r的关系如图中曲线所示，曲线与r轴交点的横坐标为r0.相距很远的两分子在分子力作用下，由静止开始相互接近.若两分子相距无穷远时分子势能为零，下列说法正确的是________ A.在r>r0阶段，F做正功，分子动能增加，势能减小 B.在r0阶段，F做负功，分子动能减小，势能也减小 C.在r=r0时，分子势能最小，动能最大 D.在r=r0时，分子势能为零
E.分子动能和势能之和在整个过程中不变
解析：在r>r0阶段，两分子间的分子力是引力，两物体相互接近时，分子力做正功，分子势能减小；在r0阶段，两分子间的分子力是斥力，两物体相互接近时，分子力做负功，分子势能增加。故A对，B错，C对。若两分子相距无穷远时分子势能为零，根据在r>r0阶段，两分子间的分子力是引力，两物体相互接近时，分子力做正功，分子势能减小得在r=r0时，分子势能为负，D错。整个过程中只有分子力做功，也就是只有分子势能和分子动能相互转化，所以分子动能和势能之和在整个过程中不变，E对。
势能虽然是根据保守力做功定义的，但势能并不是功。它跟功的含义有很大的区别，它又跟功有着很重要的联系即在一个过程中势能的减少量跟这个保守力做的功是相等的，抓住这个联系去分析问题，我们往往能够化繁为简解决问题。
本文来源：https://www.wddqxz.cn/beb1a8160a12a21614791711cc7931b765ce7bac.html
2022-04-11
