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专题 构造三角形中位线
【方法归纳】中点问题的处理方法较多，构造三角形中位线是常用方法之一. 一、连接两点构造三角形中位线
1.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边中点，试判断四边形EFGH的形状并予以证明.
【解析】：四边形EFGH为平行四边形.
2.如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且AE＝BF，BE交AF于M，CE交DF于N，求证：MN//
BE
C
A
GDH
F
AMB
F
ENC
1
AD. 2
D
【解析】：连EF，证平行四边形ABEF和平行四边形EFCD，∴EM＝BM，EN＝CN.
3.如图，点是P四边形ABCD的对角线的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝450，∠ADB＝1050，探究EF与PF之间的数量关系，并证明.
{
E
DM
FA
B
PH
G
C
【解析】：连PE，证PE＝PF，∠EPF＝1200，∴EF＝3PF. 4.如图，点B为AC上一点，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P、M、N分别为AC、AD、CE的中点.
⑴求证：PM＝PN；⑵求∠MPN的度数. 【解析】：⑴连AE，CD，证PM//
N
11
CD，PN//AE，证△ABE≌△BDC，AE＝CD，∴PM＝22
PN.
⑵设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，由⑴知∠BAE＝∠BDC，∠ADH＝∠ABD＝600，∠FHG＝1200，易证四边形PFHG为平行四边形，∴∠MPN＝1200.
二、利用角平分线＋垂直构造中位线
5.如图三角形ABC中，点M为BC的中点，AD为三角形ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求MD的长.
N
A
DB
M
C
【解析】：延长BD，CA交于N，证DN＝DB，MD＝
1
CN＝15. 2
C
6.如图，三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝900，F为BC上的一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF＝2ME.
F
【解析】：延长FE交AB于N，证EF＝EN，CF＝AN，∵AN＝2ME，∴CF＝2ME.
）
M
E
A
N
B
三、倍长构造三角形中位线
C
7.如图，三角形ABC中，∠ABC＝900，BA＝BC，三角形BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝900，M为AF的中点，求证：ME＝
1
CF. 2
MA
F
B
E
N
【解析】：延长EF至N，使EN＝EF，连BN，AN，证ME＝
1
AN，证△BCF≌△BAN，∴CF＝AN＝2ME. 2
四、取中点构造三角形中位线
8.如图，四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连BD，若AB＝10，CD＝8，求MN的取值范围. 【解析】：取BD的中点P，连PM，PN，∵PM＝＝
9.如图，三角形ABC中，∠ C＝900，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点，求证：AE＝2MN. 【解析】：取AB的中点H，连MH，NH，则MH＝
】
A
M
D
1
AB＝5，PN2
P
B
N
C
1
CD＝4，∴1＜MN＜9. 2
B
11
BF，NH＝AH， 22
NF
H
M
∵AE＝BF，∴MH＝NH，易证∠MHN＝900，∴AE＝2NH＝2·
2
MN2
C
E
A
＝2MN.
本文来源：https://www.wddqxz.cn/be72975f122de2bd960590c69ec3d5bbfd0adaaa.html
2022-12-18
