【教学随笔】利用不等式的性质比较大小

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利用不等式的性质比较大小



不等式是中学数学的重要内容，它渗透到了中学数学课本的各个章节，是解决其它数学问题的一种有利工具，是高考命题的重点和热点.而不等式的基本性质又是不等式这一章的基础，是解不等式与证明不等式及应用的理论根据，运用不等式的性质要切实注意不等式的性质的前提条件，防止条件的强化或弱化.下面就利用不等式的性质比较数(式)大小的方法与技巧举例说明.

一、比较已知两式的大小

例1判断a2＋b2与ab＋a＋b－1的大小. 解析一：(将差化成几个平方和)

1

(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)＝(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2)

21

＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0， 2

∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.

解析二：(将差看作a的二次三项式，再配成平方和)

b＋123233

(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1＝(a－)＋b－b＋

2424b＋123

＝(a－)＋(b－1)2≥0，

24

∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.

解析三：(将差看作a的二次三项式，利用根的判别式证) 对于a的二次三项式a2－(b＋1)a＋b2－b＋1， △＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0，

又∵二次项系数为1，故此二次三项式恒大于(或等于)零，即a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，

∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.

评注：比较a与b的大小，常常归结为判断它们的差a－b的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).比较a与b大小的步骤是①作差；②变形(分解因式、配方、通分或分子分母有理化等，如前两种解法变形用的配方，第三种解法变形用的二次函数的判别式)；③判断符号.

二、已知条件等式比较两数的大小

例2设实数x、y、z满足y＋z＝6－4x＋3x2，z－y＝4－4x＋x2，试确定x、y、z的大小关系.

解析一：∵z－y＝4－4x＋x2＝(x－2)2≥0，∴z≥y，

 y＋z＝6－4x＋3x2 y＝1＋x2

又由2，得2，

 z－y＝4－4x＋x z＝5－4x＋2x

13

∴y－x＝1＋x2－x＝(x－)2＋＞0，∴y＞x，故z≥y＞x.

24解析二：∵z－y＝4－4x＋x2＝(x－2)2≥0，∴z≥y，

11

又∵y－x＝[(y＋z)－(z－y)]－x＝[(6－4x＋3x2)－(4－4x＋x2)]－x

22


13

＝1＋x2－x＝(x－)2＋＞0，

24

∴y＞x，综上可知z≥y＞x.

评注：此类题型的难度相对较大，其基本的思路是：灵活变换已知的等式，用等式中所涉及的一个字母表示另外的字母，可使作差后式子中只含有一个字母，或者对已知的条件等式进行转化，使之出现要比较的两数(式)的差.

三、已知条件不等式比较两数的大小

例3已知a，b，c∈R且a＋b＋c≥0，试比较a3＋b3＋c3与3abc的大小.

解析：∵a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b)3－3ab(a＋b)＋c3－3abc＝(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c)

＝(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)·c＋c2]－3ab(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)

1

＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0， 2

在a＋b＋c＝0或a＝b＝c时才能取“＝”，∴a3＋b3＋c3≥3abc.

评注：解答已知条件不等式比较两数的大小问题时对条件不等式的利用主要有两个方向：一是对作差后的式子通过分解因式或配方等手段变形后的式子中含有条件不等式的部分因式(如本题解法)；二是首先对条件不等式进行变形化简，导出相关的结论，再应用于作差变形后的式子中.

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