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第1章 解三角形
【知识结构】
正弦定理
解三角形正、余弦定理的应用 余弦定理
听课随笔
【重点难点】
重点:(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。
难点:(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
第1课时 正弦定理(1)
【学习导航】 求另一边的对角,进而可知识络 求其它的边和角 直角三角形的边角关系→任【精典范例】
意三角形的边角关系→正弦【例1】在ABC中,A30,
C105,a10,求b,c. 定理
学习要求 分析:正弦定理可以用于解决1.正弦定理的证明方法有几已知两角和一边求另两边和种,但重点要突出向量证法; 一角的问题.
2.正弦定理重点运用于三角【解】因为A30,C105,
形中“已知两角一边”、“已所以B45.因为
abc知两边一对角”等的相关, sinAsinBsinC
问题 asinB10sin45
b102,所以【课堂互动】 sinAsin30asinC10sin105自学评价 c5256. sinAsin30
1.正弦定理:在△ABC中,
c的长分别为102和因此, b,abc
2R, 5256. sinAsinBsinC
2.正弦定理可解决两类问题: 【例2】根据下列条件解三角(1)两角和任意一边,求其形:
(1)b3,B60,c1;
它两边和一角;
(2)c6,A45,a2.
(2)两边和其中一边对角,
分析:正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题. 【解】(1)bcsinBsinC
,
∴sinCcsinB1sin601b3
2,
bc,B60
,∴CB,∴C为
锐角, ∴C30,A90,∴ab2c22. (2)asinAcsinC
,
∴sinCcsinA6sin453a22
,
∴C60或120,
∴当
C60时,B75,b
csinB6sin75
31
sinCsin60
∴当
C120时,B15,b
csinB6sin15
3所
sinCsin60
1以,
b31,B75,C60或b31,B15,C120
.
追踪训练一
1.在△ABC中,
C1050,B450,c5,则b的值为( A ) A 5(31) B 5(31) C 10 D 5(62) 2.在△ABC中,已知a3,
b4,sinB23,则sinA= ( C ) A 34
B 11
6
C 2
D 1 3.(课本P9练习第2题)在△ABC中,
(1)已知A750,B450,
c32,求a,b;
(2)已知A300,B1200,b12,求a,c。 略解:(1)a33,b23; (2)a43,c43(可以先判断是等腰三角形再解) 4.(课本P9练习第3题)根据下列条件解三角形:
(1)b40,c20,C250; (2)b13,a26,B300。 略解:(1)由题意知:
sinB2sinC2sin2500.423B580
或1220 A970
,a47或A330,
a25.8(要注意两解的情况) (2)由题意知:
A900C600c133 【选修延伸】 【例3】在锐角三角形ABC中,A=2B,a、b、c所对的角分别为A、B、C,试求ab
的范围。
分析:本题由条件锐角三角形
得到B的范围,从而得出a
b
的范围。 【解】在锐角三角形ABC中,
A、B、C<900
,即:B9002B90
0300B450,
18003B900由正弦定理知:
absinAsinBsin2BsinB
2cosB
2,3
,
故所求的范围是:
2,3
。
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