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“无滑动地翻滚”问题例析
浙江省象山县下沈中学（315721） 安必智
“无滑动地翻滚”问题巧妙完成了“知识目标达成”到“能力目标达成”的巧妙过渡，从多元性上来体现数学教学的有效性。我们发现在很多较复杂问题的解决上，建立该问题的基本知识点总是被遮掩住了，这就需要学生认真审题，剥去问题的“装饰部分”，使问题回归到“原始状态”，这是问题解决的非常好的一个方法。
例1．（2009湖北黄冈市）矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着直线l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是_________．
评析：解决问题的关键是正确理解每次翻滚的旋转中心、旋转角以及旋转半径。在四次翻滚过程中，第一次点A的运动路线是以点B为旋转中心、BA为旋转半径、旋转角为90°的一条弧，其弧长为4π；第二次点A的运动路线是以点C为旋转中心、CA为旋转半径、旋转角为90°的一条弧，其弧长为5π；第三次点A的运动路线是以点D为旋转中心、DA为旋转半径、旋转角为90°的一条弧，其弧长为3π；第四次旋转顶点A位置不变，所以顶点A所经过的路线长是:4π+5π+3π=12π。
例2．如图，将半径为2、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A’O’B’处，则顶点O经过的路线总长为 ．
A
B
60
OBA O
评析：容易分析出从开始到OB竖直，(O点以B为圆心运动四分之一圆周)；OB竖直到OA竖直，(O点在高为半径的地方做直线运动)；从OA竖直到最终，(O点以A为圆心运动四分之一圆周)，O点总是在绕扇形弧线上的点作半径相等的圆弧运动，因此可拼在一起来看，只要找到拼成的扇形的圆心角，求出弧长就可以了。从起始位置到终止位置可分析出，图中扇形纸
片再转上120°就回到初始状态，从而得出它在滚动过程中，顶点O转的角度总和为240°。这样就抓住了问题的本质。使复杂问题露出真面目，回归到“原始状态”。解得顶点O经过
24028
。 的路线总长为l
180
3
练习1.如图，水平地面上有一面积为30cm的扇形AOB，半径OA=6cm，且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为（ ）C
2
A、20cm B、24cm C、10cm D、30cm
2.在Rt△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转 60°，顶点C运动的路线长是（ ）． A．
3
23
43
； B． ； C． ； D． ．
3一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，当滚到与坡面BC开始相切时停止.其中AB=80cm，BC与水平面的夹角为60°.
（1）求出圆盘在AB上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度（精确到0.1cm）；
（2）当圆盘从A点滚到与BC开始相切时停止，其圆心所经过的路线长是多少？（精确到0.1cm）.
4.如图4，将半径为1cm的圆形纸板，沿着边长分别为8cm和6cm的矩形的外侧滚动一周并
回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是 cm. (精确到0.01cm)
图4
.
本文来源：https://www.wddqxz.cn/bb7291266f85ec3a87c24028915f804d2b16873e.html
2024-03-30
