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微专题突破一 正弦、余弦的和、差、积“三姐妹问题”
我们知道同角三角函数有平方关系：sin2α＋cos2α＝1，利用这一关系，对“sin α＋cos α”，“sin α－cos α”，“sin αcos α”三者可以知一求二． 1
例1 已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为( )
23333A. B．± C. D．± 8844
考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 A
1解析 由已知得(cos α－sin α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝，
43
解得sin αcos α＝，故选A.
8
点评 已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有
①(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； ②(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； ③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； ④(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α. 例2 (2018·山东德州高二期末)已知sin α－cos α＝－A．－4 B．4 C．－8 D．8 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 C
1sin αcos α1解析 tan α＋＝＋＝.
tan αcos αsin αsin αcos α1－sin α－cos α21
∵sin αcos α＝＝－，
281
∴tan α＋＝－8.
tan α
51，则tan α＋的值为( ) 2tan α
点评 利用切化弦化简可得sin αcos α结构，根据sin αcos α，sin α＋cos α，sin α－cos α关系，将已知条件平方变形使问题得解．
例3 已知θ∈(0,2π)，且sin θ，cos θ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实数根，则实数k＝________，θ＝________.
考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 3π答案 －1 π或
2
解析 依题意有k2－4(k＋1)≥0，① sin θ＋cos θ＝k，② sin θcos θ＝k＋1.③
又∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴k2－2k－3＝0. 解得k＝3或k＝－1.
∵|sin θcos θ|＝|k＋1|≤1，∴k＝－1(满足条件①)．
sin θ＋cos θ＝－1，
代入②③，得
sin θcos θ＝0.sin θ＝0，sin θ＝－1，
解得或
cos θ＝－1cos θ＝0.
3π又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π或.
2
点评 本题将三角函数与一元二次方程结合起来，利用根与系数的关系得到sin θ＋cos θ，sin θcos θ关系式，再由这二者间联系(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，得到关于k的方程，从而使问题得解．
例4 已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m的值；
sin θcos θ(2)＋；
11－tan θ1－tan θ(3)方程的两根及此时θ的值． 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值
解 (1)由题意得(3＋1)2－16m≥0，① sin θ＋cos θ＝
3＋1
，② 2
sin θcos θ＝m，③
2＋3
将②式平方，得1＋2sin θcos θ＝，
2所以sin θcos θ＝
33
，代入③得m＝(经验证，满足①式)． 44
sin2θ－cos2θ3＋1sin θcos θsin2θcos2θ
(2)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
121－tan θsin θ－cos θcos θ－sin θsin θ－cos θ1－tan θ(3)由(1)得m＝
3331，所以原方程化为2x2－(3＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝. 4222
所以1
cos θ＝2
3sin θ＝，
2
或3
cos θ＝.2
1sin θ＝，
2
ππ
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或.
36
点评 本题利用一元二次方程根与系数的关系得出等式，然后结合sin θ＋cos θ，sin θcos θ关系建立方程求出答案，体现了函数与方程思想的运用．
本文来源：https://www.wddqxz.cn/bac43dc5adaad1f34693daef5ef7ba0d4a736d13.html
2022-04-21
