函数奇偶性的应用

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函数奇偶性的应用



函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明. 一、求函数的解析式

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例1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式.

分析 要求f(x)在R上的解析式，条件已给出f(x)在(0，＋∞)上的解析式，还需求当x≤0时f(x)对应的解析式. 解 因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，

3

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－x)＝－x(1－x).

所以f(－x)＝－x(1＋

因为f(x)是R上的奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝x(1－x)，x∈(－∞，0). 在f(－x)＝－f(x)中， 令x＝0，得f(0)＝0.

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x1＋3x，x＞0，

所以f(x)＝0，x＝0，

3

x1－x，x＜0.





评注 利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)

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设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，即将x转化到已知区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式. 二、求参数的值

例2 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若给出一个实数a，a＜0，有f(a)＝－2，则实数a＝________.

分析 根据已知条件当x≥0时，函数f(x)＝x(x＋1)≥0，由于f(a)＝－2，显然需要求得x＜0的解析式.

解析 令x＜0，则－x＞0.所以f(－x)＝－x(1－x). 又f(x)为奇函数，所以当x＜0时，有f(x)＝x(1－x). 令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0. 解得a＝－1，或a＝2(舍去). 答案 －1

评注 解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键. 三、求参数的范围

例3 定义在(－2,2)上的偶函数f(x)在区间[0,2)上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.

解 因为f(x)是偶函数，所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|).又f(1－m)＜f(m)，所以f(|1－m|)＜f(|m|).由f(x)在区间[0,2)上是减函数，1

得0≤|m|＜|1－m|＜2.解得－1＜m＜2.故实数m的取值范围是

2




1－1，.

2

评注 本题利用了偶函数的性质：若函数f(x)是偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)，从而达到简捷求解的目的.



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