二次函数公式(精华)

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★二次函数知识点汇总★

1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数yax2的性质 (1)抛物线yax2（a0）的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数yax2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点

3.二次函数 yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

22

4.二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

b4acb2. h，k

2a4a

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

22

①yax2；②yax2k；③yaxh；④yaxhk；⑤yax2bxc. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a决定抛物线的开口方向：

当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb2b4acb22

（，），对称轴是直线(1)公式法：yaxbxcax，∴顶点是

2a4a2a4a

bx.

2a

2

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是xh.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb,故：

2a

2

①b0时，对称轴为y轴；②b0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；

a

③b

a

0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.

(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c)：

①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b0.

a

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

精选范本,供参考！


函数解析式 yax2

yax2k

开口方向

对称轴 x0(y轴) 顶点坐标 (0,0) (0, k) (h,0) (h,k)

b4acb2(，) 2a4a

当a0时

2

yaxh 开口向上

2

yaxhk 当a0时

开口向下

2

yaxbxc

x0(y轴) xh xh

bx

2a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2)顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2. 12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)

(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc). (3)抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程 ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，

2

设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

(5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组

ykxn

的解的数目来确定： 2

yaxbxc

①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点. (6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为

bc

xx,xxAx1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程axbxc0的两个根，故 12 12

aa

2

ABx1x2

x1x2

2



x1x2

2

b24acb4c

4x1x2

aaaa

2

13．二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程yax2bxc就是二次函数yax2bxc当函数y的值为0时的情况． (2)二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、

没有交点；当二次函数yax2bxc的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y0时自变量x的值，即一元二次方程ax2bxc0的根．

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