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锐角三角函数及解直角三角形
29.1 锐角三角函数以及特殊角
〔2011省市，2，3′〕sin45°的值是〔 〕 A.
12 B. 232 C. 2
D.1 【解析】sin45°=2
2
【答案】B
【点评】此题主要考察常见锐角三角函数值。需要学生记忆，这是对根底知识的考察，属于容易题。
〔2012江，11，3分〕如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，那么sinA的值为
A
B C 图4 A．
1
B．
55
25
C．
1010
D．
25
【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD〔如以下图所示〕，恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝
CDAC＝210
＝5
5． - -.可修编- .
A
D
B C 图4
【答案】B
【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要
注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．
29.2 三角函数的有关计算
〔2012，9，4分，〕如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，那么AB两点的距离是〔 〕
A．200米 B. 2003米 C. 2203米 D.100(31)米
解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，那么tanACDAD,tanBCD
DB
，又CD=100，因此 AB=AD+DB=CDtanACD100100
tanBtan300tan450
1003100。 答案：D
点评：此题考察了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。
A
( 2012年省市,8,3)如图，Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB=2
3
,那么BC的长为
C B
8题
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〔A〕4 (B)25 (C)18 1313 (D)1213
13
【解析】由三角函数余弦的定义cosB=BCAB=2
3，又∵AB=6∴BC=4,应选A
【答案】A
【点评】此题考察三角函数的定义，比拟容易.
〔2012,15，4分，〕如图，△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，那么AD的长是，cosA的值是.〔结果保存根号〕
解析：由条件，可知△BDC、△ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证△BDC∽△ABC，那么有
BCACDCBC，设BC=x，那么DC=1-x，因此x1x
1x
,即x2x10，解方程得， x1
515512,x1
22〔不合题意，舍去〕，即AD=2；
AB
又cosA=21AD
151
2
5151
4 2
答案：
512,51
4
点评：此题考察了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，
- -.可修编- .
具有较强的综合性，难度较大。
〔2012，3，3分〕小明在学习“锐角三角函数〞中发现，将如下图的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，复原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是
D
CF
E
AB
A.3+1
B.
2+1 C. 2.5 D.5
【解析】注意折叠后两点对称，也就是说△ABE和△AEF都是等腰三角形。得到67.5°的角为∠FAB。
【答案】设AB=x,那么BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=2x,于是BF=〔2+1〕x.在直角三角形ABF中，tan∠FAB=
BFAB(21)x
x
=2+1=tan67.5°.选B。 【点评】根据折叠得到A、E关于折痕对称，从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出两线段的长。
(2012中考,7,3,)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如以下图形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，
BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有〔 〕
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〔A〕1组 〔B〕2组
A
〔C〕3组 〔D〕4组
〔2〕由tanA=的值．
3
为了计算方便，可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA 4，
E
D C
F
B
【解析】〔1〕设BC=1, ∵α=30◦
∴AB=2
∴由勾股定理得：AC=3
【解析】对于①，可由公式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；对于②，可设
xx
，BD=，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，
tan∠ACBtan∠ADB
DEBD
易知△DEF∽△DBA，那么，可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、EFAB
AB的长为x，那么BC=③三个，应选C． 【答案】C．
【点评】此题考察解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．
〔2012，22，10分〕如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan, 即ctan=解以下问题： 〔1〕ctan30◦=；
AC
=3 BC3
(2) ∵tanA=
4
ctan30◦=
∴设BC=3 AC=4 ∴ctanA=
AC4
= BC3
【点评】此题考察了锐角三角函数的定义和直角三角形的性质，锐角三角函数往往和直角三角形联系在一起考察。命题时常常和现实中的一些实际问题结合在一起。需要注意的是，在运用三角函数概念及其关系式时，计算易错，名称易混淆；特殊角的三角函数值易混淆，也容易把一个角与其余角的三角函数值混淆。
〔20124分，16题〕如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°. 22题图
〔1〕当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________； 〔2〕假设射线EF经过点C，那么AE的长是________.
角的邻边AC
，根据上述角的余切定义，
角的对边BC
3
〔2〕如图，tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA
4
的值．
【分析】〔1〕可先设最小边长为一个特殊数〔这样做是为了计算方便〕，然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30◦。
- -.可修编- .
本文来源：https://www.wddqxz.cn/b9ab569ff7335a8102d276a20029bd64793e622c.html
2022-07-03
