平面向量公式

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平面向量

向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶

三

角

形

不

等

式

：

rrrrrrababab．

⑷运算性质：

rrrr

①交换律：abba；

rrrrrrrrrrr

②结合律：abcabc；③a00aa．



rrrr

⑸坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2． 向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

rrrr⑵坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2． 设、两点的坐标分别为

x1,y1

，

x2,y2

，则

uuur

x1x2,y1y2． 向量数乘运算：

rr

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．

rr①aa；


rr

②当0时，a的方向与a的方向相同； rr

当0时，a的方向与a的方向相反；

rr

当0时，a0．

rrrrrrrrr

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．



rr

⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y．

rrrrrr

向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．



rrrrrrrr

设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共线．



uruur

平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向uruururuurrr

量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）

uuuruuur分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当12

xx2y1y2

,时，点的坐标是1（当1时，为中点公式。） ．11

平面向量的数量积：

rrrrrrrro

⑴ababcosa0,b0,0180o．零向量与任一向量的数量积为0．



rrrrrrrrrrrrrr

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abab；当a与b

rrrrrrrrrrr2r2rrr

反向时，abab；aaaa或aaa．③abab．

rrrrrrrrrrrrrrrrr

abba⑶运算律：①；②ababab；③abcacbc．



rrrr

⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2．

rrrrr2

若ax,y，则ax2y2，或ax2y2． 设ax1,y1，bx2,y2，则

rr

abx1x2y1y20．

rrrrrr

设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，则

rr

x1x2y1y2ab

cosrr． 2222

abx1y1x2y2

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