函数定义域求解的常见类型

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函数定义域求解的常见类型

重庆市涪陵五中 邓云华

关键词:函数定义域 求解 类型

摘要:函数的定义域是函数三大要素之一，因此，会求函数的定义域是学好函数的关键，而“定义域优先”的思想又是研究函数的前提.

在高中数学学习中,许多同学不习惯建立“定义域优先”这一数学理念,即使建立了“定义域优先”这一数学理念,又不知怎样来求函数的定义域？在此,笔者归纳一下认为求函数的定义域主要有以下五种常见类型。

第一类：已知函数解析式求定义域

函数定义域通常由问题实际背景确定，如果给出解析式y=f(x)，而未指出它的定义域，则函数定义域就是指使这个解析式有意义的实数x集合。常见的解析式有：

1、分式型：y

1

fx0 2、 根式型：yfx

0

fxfx0



3、零次幂型:yfxfx0 4、对数型:ylog(x)f(x)

例1:求f(x)

(x1)0|x|x

定义域

xx0

解：∵  ∴ x,11,0

x10

例2：求函数y

log1(x21)的定义域

2

log1x210x211

2解：∵  ∴ 

x1或x12x10

∴ x2,11,2

第二类：求复合函数定义域

原理１：若f(x)定义域［a,b］（f对x∈[a,b]作用），则复合函数f[g(x)]中：a≤g(x)≤b解出x的范围即为f[g(x)]定义域。

例3：若f(x)定义域[0,4]，求f(x2)定义域

2

解：∵ 0x4 ∴ x2,2 ∴ f(x2)定义域为：2,2





原理２：若复合函数f[g(x)]的定义域［a,b]（g作用于x∈[a,b]），则令t=g(x)，那么f(x)的定义域为g(x)值域

例4：已知f(x２-2)定义域[1,+∝]，求f(x)定义域 解：∵ x1 ∴ x21

2


∴ f(x)定义域为：1,

例5、已知y=f(2x-1)定义域[-1,1] ，求f(1-x2)定义域 解：∵ 1x1 ∴ 32x11

∴ 31x1 ∴ x2,2

2

即f(1-x2)定义域为：2,2

第三类：利用已知函数定义域，求相关函数定义域

这种函数定义域的求法是要使相关函数中的每个函数都要有意义.

例6:已知y=f(x)定义域[0,1]，求函数g(x)=f(x+m)+f(x-m)（m＞0）的定义域

0xm1mx1m

解：∵ 0x1 ∴  ∴ 

0xm1mx1m

∴ ① 当m0,时，xm,1m

②当m

12

11时，x 22

12



③当m,时，x为。

综上：函数g(x)=f(x+m)+f(x-m)（m＞0）的定义域为：当m0,时，定义域是

12

11

m,1m；当m1时，定义域是；当m,时，定义域是。

2

22



第四类：实际问题确定函数的定义域

定义域是自变量的取值范围，它是函数不可或缺的一部份，若变量是代表实际问题的量，

2那么它的定义域要受实际问题的制约。例如：二次函数y=x它的定义域通常是R，但考察

正方形面积与边长关系时x∈R+。

例7:一等腰三角形的周长为20，那么底边长y是关于腰长x的函数，求其解析式和定义域。

解：由题意得：y202x

∵ y0 ∴ 202x0 ∴ x10 又∵ xxy ∴ 2x202x ∴ x5 综上：5x10

∴ 所求解析式为：y202x（5x10） 第五类：定义域逆向问题

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