高中数学导数自学讲义——认识导数

2022-03-24 05:34:19   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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导数的简单自学讲义

1函数yf(x)xx0处的导数

(1)定义:称函数yf(x)xx0处的瞬时变化率limfx0xfx0limy为函

x0

x

x0

x

yf(x)xx0处的导数,记作f′(x0)y′|xx0

(2)几何意义:

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0f(x0))处的切线的斜率(时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为yf(x0)f′(x0)(xx0) 2.函数f(x)的导函数

称函数f′(x)limfxxfxf(x)的导函数.

x0

x

3.基本初等函数的导数公式

原函数

f(x)c(c为常数) f(x)xn(nQ*) f(x)sin x f(x)cos x f(x)ax f(x)ex f(x)logax f(x)ln x

*4.利用导数的定义求函数的导数 1)根据导数的定义求函数

①求函数的增量②求平均变化率③得导数

在点

处导数的方法:

,简记作:一差、二比、三极限.

导函数 f′(x)0 f′(x)nxn1



f′(x)cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)axln_a f′(x)ex f′(x)

1 xln a

1f′(x)

x


2)函数的导数与导数值的区间与联系:导数是原来函数的导函数,而导数值是导函数在某一点的函数值,导数值是常数. 5.导数的运算法则

1) [f(xg(x)]′f′(xg′(x) 2) [f(xg(x)]′f′(x)g(x)f(x)g′(x)

3)

fxfxgxfxgx(g(x)≠0) 2

gxgx

4) 复合函数的导数

复合函数yf(g(x))的导数和函数yf(u)ug(x)的导数间的关系为yxyu′·ux,即yx的导数等于yu的导数与ux的导数的乘积.

例题精析

1

【例题1求函数y的在x=1处的导数.

x

【例题2一质点运动的方程为

.

1 求质点在t=1时的瞬时速度; 2 求质点在t=1时的瞬时加速度;

【例题3求下列函数的导数.



【例题4已知曲线,

1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; 2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;


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