高中数学导数自学讲义——认识导数

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导数的简单自学讲义

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limfx0xfx0limy为函

x0

x

x0

x

数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0

(2)几何意义：

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limfxxfx为f(x)的导函数．

x0

x

3．基本初等函数的导数公式

原函数

f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x

（*）4．利用导数的定义求函数的导数 （1）根据导数的定义求函数

①求函数的增量②求平均变化率③得导数

在点

处导数的方法： ； ；

，简记作：一差、二比、三极限.

导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝nxn1

－

f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln_a f′(x)＝ex f′(x)＝

1 xln a

1f′(x)＝

x


（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数. 5．导数的运算法则

1) ．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； 2) ．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

3)

fxfxgxfxgx．(g(x)≠0) 2

gxgx

4) 复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

例题精析

1

【例题1】求函数y的在x=1处的导数.

x

【例题2】一质点运动的方程为

.

（1） 求质点在t=1时的瞬时速度； （2） 求质点在t=1时的瞬时加速度；

【例题3】求下列函数的导数.



【例题4】已知曲线，

（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程； （2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；

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