2014年高考一轮复习数学教案：12.2 离散型随机变量的期望值和方差

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12.2 离散型随机变量的期望值和方差



●知识梳理

1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xi pi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.

2.方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.D叫标准差，反映了ξ的离散程度.

3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）. （2）若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）. ●点击双基

1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则

A.Eξ=3.5，Dξ=3.52











B.Eξ=3.5，Dξ=D.Eξ=3.5，Dξ=

35 1235 16

1， 6

C.Eξ=3.5，Dξ=3.5

解析：ξ可以取1，2，3，4，5，6.

P（ξ=1）=P（ξ=2）=P（ξ=3）=P（ξ=4）=P（ξ=5）=P（ξ=6）=∴Eξ=1×

111111

+2×+3×+4×+5×+6×=3.5， 666666

Dξ=［（1－3.5）2+（2－3.5）2+（3－3.5）2+（4－3.5）2+（5－3.5）2+（6－3.5）2］×

117.535

==. 6612

答案：B

2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是

A.Eξ=0.1 B.Dξ=0.1

C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910

－k



k

D.P（ξ=k）=C10·0.99k·0.0110k

－

解析：ξ～B（n，p），Eξ=10×0.01=0.1.

答案：A

3.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于 A.1

7

B.

1 6

C.

1 51. 7

D.

1 4

解析：Eξ=np=7，Dξ=np（1－p）=6，所以p=

答案：A

4.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于

A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 解析：Dξ=10×0.02×0.98=0.196.






答案：C

5.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机________的质量较好.

解析：Eξ1=Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.Dξ1>Dξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定.∴乙机质量好.

答案：乙 ●典例剖析

【例1】 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ.

ξ P

－1

0 1－2q

1 q2

1 2

剖析：应先按分布列的性质，求出q的值后，再计算出Eξ、Dξ.

解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所12

212qq1,2以012p1, 解得q=1－.

22

q1,

于是，ξ的分布列为

ξ P

－1

0

1

1 2

2－1

3

－2 2

所以Eξ=（－1）×

13

+0×（2－1）+1×（－2）=1－2， 22

13

+（1－2）2×（2－1）+［1－（1－2）］2×（22

Dξ=［－1－（1－2）］2×－2）=2－1.

评述：解答本题时，应防止机械地套用期望和方差的计算公式，出现以下误解：Eξ=（－1）×

11

+0×（1－2q）+1×q2=q2－. 22

拓展提高

既要会由分布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ

3276

是离散型随机变量，P（ξ=x1）=，P（ξ=x2）=，且x1<x2，又知Eξ=，Dξ=.

55525求ξ的分布列.

解：依题意ξ只取2个值x1与x2，于是有

Eξ=Dξ=

327x1+x2=， 55532226x1+x2－Eξ2=. 5525

3x12x27,从而得方程组2 2

3x2x11.21






9x,1

x11,5解之得或 x242x.

25

而x1<x2，∴x1=1，x2=2.

∴ξ的分布列为

ξ P

1

2

3 52 5

【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2，则a需满足什么条件，保险公司才可能盈利?

剖析：要使保险公司能盈利，需盈利数ξ的期望值大于0，故需求Eξ. 解：设ξ为盈利数，其概率分布为

ξ P

a 1－p1－p2

a－30000

p1

a－10000

p2

且Eξ=a（1－p1－p2）+（a－30000）p1+（a－10000）p2=a－30000p1－10000p2. 要盈利，至少需使ξ的数学期望大于零，故a＞30000p1+10000p2. 评述：离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值. 思考讨论

本题中Dξ有什么实际意义?

【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求Eξ、Dξ. 剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44，空盒子的个数

4!6

可能为0个，此时投球方法数为A4=4!，∴P（ξ=0）==；空盒子的个数为1时，44

644

23

此时投球方法数为C14C4A3，

36

. 64

同样可分析P（ξ=2），P（ξ=3）. 解：ξ的所有可能取值为0，1，2，3.

∴P（ξ=1）=

P（ξ=0）=

A4444232222

C1C2636214C4A34C4C4C4A2

=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，4464646444

P（ξ=3）=

C1444

=

1. 64

∴ξ的分布列为

ξ P

0

1

2

3

6 64

169581

，Dξ=2. 6464

36

6421 641 64

∴Eξ=






评述：本题的关键是正确理解ξ的意义，写出ξ的分布列. 特别提示

求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.

●闯关训练 夯实基础

1.设服从二项分布B（n，p）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为

A.n=4，p=0.6 B.n=6，p=0.4 C.n=8，p=0.3 D.n=24，p=0.1 解析：由Eξ=2.4=np，Dξ=1.44=np（1－p），可得

1－p=

1.442.4

=0.6，p=0.4，n==6. 2.40.4

答案：B

2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为

A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4

解析：ξ=0，1，2，3，此时P（ξ=0）=0.43，P（ξ=1）=0.6×0.42，P（ξ=2）=0.6×0.4，P（ξ=3）=0.6，Eξ=2.376.

答案：C

3.设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.

pq2n1

解析：Dξ=npq≤n（）=，等号在p=q=时成立，此时，Dξ=25，σξ=5.

242

答案：

1

5 2

2

，则甲回家途中遇红灯次数的期望为________. 5

2）， 52

=1.2. 5

4.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

解析：设甲在途中遇红灯次数为ξ， 则ξ～B（3，所以Eξ=3×

答案：1.2

5.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差.

解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ～B（50，0.8），η=2ξ，故成绩的期望为Eη=E（2ξ）=2Eξ=2×50×0.8=80（分）；

成绩的标准差为ση=D=D(2)=4D=2500.80.2=42≈5.7（分）. 6.袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分ξ的概率分布和数学期望.






解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况： 4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，故P（ξ=5）=

3

C14C34C7

=

4， 35

P（ξ=6）=

2C24C34C70C44C34C7

1C318124C3

=，P（ξ=7）==， 43535C7

P（ξ=8）==

141812122044，Eξ=5×+6×+7×+8×==. 3535353535357

培养能力

7.一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望Eξ和方差Dξ.

解：设Ai={部件i需要调整}（i=1，2，3），则P（A1）=0.1，P（A2）=0.2，P（A3）=0.3. 由题意，ξ有四个可能值0，1，2，3.由于A1，A2，A3相互独立，可见

P（ξ=0）=P（A1A2A3）=0.9×0.8×0.7=0.504；

P（ξ=1）=P（A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398；

P（ξ=2）=P（A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3=0.092；

P（ξ=3）=P（A1A2A3）=0.1×0.2×0.3=0.006. ∴Eξ=1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6，

Dξ=Eξ2－（Eξ）2=1×0.398+4×0.092+9×0.006－0.62=0.82－0.36=0.46.

8.证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过

1. 4

证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p，则P（ξ=0）=1－p，P（ξ=1）=p，Eξ=0×（1－p）+1×p=p，

p1p21

Dξ=（1－p）·（0－p）2+p（1－p）2=p（1－p）≤（）=.

24

所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过

1. 4

探究创新

9.将数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称之为一个巧合，求巧合数的数学期望.

C1C2911424

解：设ξ为巧合数，则P（ξ=0）=4=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，4

43A4AA42444

9

P（ξ=3）=0，P（ξ=4）=

C44A44

=

1

， 24






9111+1×+2×+3×0+4×=1.

424324

所以巧合数的期望为1. ●思悟小结

1.离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.

2.求离散型随机变量的期望与方差，首先应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数，应先求出这些待定常数后，再求其期望与方差.

3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：

所以Eξ=0×

Eξ=

xp，Dξ=（x－Eξ

i i

i

i1

i1



）2pi，E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ.

4.二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=np（1－p）.

5.对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.

●教师下载中心 教学点睛

1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定. 2.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.

3.要培养学生运用期望与方差的意义解决实际问题的能力. 拓展题例

【例1】 若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0<p<1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数.

（1）求方差Dξ的最大值；

2D1

（2）求的最大值.

E

剖析：要求Dξ、

2D1

的最大值，需求Dξ、Eξ关于p的函数式，故需先求ξ的E

分布列.

解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1－p，从而Eξ=0×（1－p）+1×p=p，Dξ=（0－p）2×（1－p）+（1－p）2×p=p－p2.

（1）Dξ=p－p2=－（p－∵0<p<1， ∴当p=

11时，Dξ取得最大值为. 24

121

）+， 24

2D12(pp2)11

（2）==2－（2p+），

pEp

∵0<p<1，∴2p+

1

≥22. p






当且仅当2p=

2D112

，即p=时，取得最大值2－22.

Ep2

评述：在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视.

【例2】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n的球n个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.

解：ξ的概率分布为

ξ P

1

2

3

… …

n

2



n(1n)4



n(1n)6



n(n1)2n



n(n1)

Eξ=1×=

2462n

+2×+3×+…+n×

n(1n)n(1n)n(n1)n(n1)

22n1（12+22+32+…+n2）=.

n(1n)3

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