中线三角形

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（2016•宁波模拟）【阅读理解】

已知△ABC的三条中线分别是AD，BE，CF．通过适当平移，这是三条中线可以组成一个三角形，我们把这个三角形叫做△ABC的中线三角形，如图①中，△BEG就是△ABC的中线三角形． 【特例研究】

（1）已知图①中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三边长分别是6，8，10，那么△ABC的面积S1= ，△ABC的中线三角形的面积S2= ，【拓展推广】

（2）如图②，△ABC的三条中线分别是AD，BE，CF，将AD平移至GB，连结EG． ①求证：△BEG是△ABC的中线三角形； ②设△ABC的面积为S1，△BEG的面积为S2，计算

的值．

= ．



【解答】解：（1）如图1，



∵BC=6，AC=8，AB=10， ∴BC+AC=AB， ∴∠ACB=90°， ∴S1=×6×8=24，

S2=6×8﹣×3×4﹣×3×8﹣×4×6=18，

2

2

2

∴==．


故答案为24，18，；

（2）①连接AG、GF、EF，如图2①，



∵AD∥BG，AD=BG，

∴四边形ADBG是平行四边形， ∴AG∥BD，AG=DB． ∵AE=EC，AF=BF，CD=BD， ∴EF∥BC，EF=BC=DB， ∴AG∥EF，AG=EF，

∴四边形AEFG是平行四边形， ∴AE∥GF，AE=GF， ∴EC∥GF，EC=GF，

∴四边形ECFG是平行四边形， ∴EG=CF，

∴△BEG是△ABC的中线三角形； ②延长GA、BE交于点N，如图2②，



∵AG∥BC即AN∥BC， ∴∠N=∠EBC． 在△AEN和△CEB中，

，

∴△AEN≌△CEB， ∴AN=BC，NE=BE，

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