哥尼斯堡七桥问题和一笔画

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哥尼斯堡七桥问题

1.七桥问题

在现在的地图上，你很难找到哥尼斯堡这个城市。但是它在地理上的奇特之处使得它成为数学史上最为著名的城市之一。这个中世纪的德国城市坐落于普雷格尔河的两岸，河的中央有两座大的岛屿，这两座岛屿通过7座桥，与河的两岸彼此连接。后来成为附近小镇市长的数学家卡尔·戈特利布·埃勒对这些桥和岛屿十分着迷。他一直在考虑一个问题：在所有桥都只能走一遍的前提下，如何才能把这个

地方所有的桥都走遍，思考一下这个问题？放弃了吗，放弃是明智的，因为这是不可能办到的。但是大数学家莱昂哈德·欧拉在试图解释这个数学问题时，开拓了一个新的数学领域。卡尔曾向欧拉写信求助解决这个问题，开始欧拉认为这个问题和数学无关，所以并不是很关注，但是随着他对这个问题的深入思考，他逐渐发现了其中蕴含的重大意义。他发现这个问题属于一个全新的几何学范畴，他称之为“位置几何”学，也就是现在著名的图论，欧拉最初的想法是，在岛屿或河岸内部行走的路线实际上并不重要，这样我们就可以把地图简化成四个区域，它们分别用一个点来表示，现在我们称之为结点。它们之间的线代表桥，这样简化的图使我们比较容易计算每个节点的度，也就是节点之间桥的数量。为什么度很重要呢？试想根据这个问题的规定，一旦有人想要通过一座桥到达一个岛屿，他就必须通过另一座桥离开。也就是说进入节点和离开节点的桥必须以成对的方式出现的。这意味着连接每个区域桥的数量一定是偶数，唯一可能的例外是在路程的起点和终点。在这张图上所有四个节点的度很明显都为奇数，于是无论选择什么样的路线，你总会重复经过某一座桥，欧拉用这个证明发展出了一个通用的理论。适用于存在两个或两个以上节点的图，每一个边仅经过一次的欧拉路径只可能出现在以下两种情况里：第一，当仅有两个节点为奇数度时而其它的节点都是偶数度时，这样我们就以其中一个拥有奇数度的节点作为起点，另一个作为终点；第二，当所有的节点都是偶数度时，那么欧拉路径就从同一个位置开始和结束，这被称为欧拉回路。那么你怎么才能在哥尼斯堡找到欧拉路径呢？这很简单，只要移走任意一座桥就能实现了。实际上历史曾经创造过欧拉路径。二战期间，苏联空间摧毁了这个城市的两座桥，这就创造出了欧拉路径。然而他们的目的并非如此。这些炸弹从地图上抹掉了哥尼斯堡。在重建之后，这里变成了俄罗斯的加里宁格勒市。所以尽管哥尼斯堡和它的七座桥不复存在，它们也会被历史铭记。这个看似简单的谜题毕竟创造出了一个数学领域呢。

2.一笔画问题

(1)凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

(2)凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

(3)其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。) 3.生活中的一笔画

(1)数字一笔画：1~9中哪些能一笔完成？

(2)中文字一笔画：日，中，田能一笔完成吗？

(3)几何图形一笔画：奥运五环，五角星能一笔完成吗？哪些汽车标志能一笔完成？

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(4)一笔画图片欣赏 (5)日常生活中的应用

① ②



4.结语

世界是美的，只要有一双发现美的眼睛； 数学是美的，只要有一颗发现美的心灵。

【课外阅读探究学习】 请你观察生活，设计一个运用“一笔画”的数学知识来解决的实际问题，并与同伴交流。







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