球体体积公式的推导

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球体体积公式的推导(共2页)

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球体体积公式的推导

1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的平

R

面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、

n

r3、…rn



由相交弦定理得

RR12

r12 = ·(2R—) = R2(—2) ,

nnnn

2R2R22222

r2 = ·(2R—) = R(—2) ,，

nnnn

22

3R3R22223

r3 = ·(2R—) = R(—2)，

nnnn

…………………

nRnR2nn22

rn = ·(2R— ) = R ·（ — 2）

nnnn

2



1 R32R32222 R323

∴V半球 = 兀·(—2)+兀·(—2)+兀·(—

nnnnnnnn

32

)…… n2

2nR3n2

+兀·（ — 2）

nnn

2


2n122223R32222

=兀·（+++……+ —2—2—2—……—

nnnnnnnn

n2

） n2

123n122232n2R3

=兀·（2×—） 2

nnn1n2n1n1R3

=兀·〔n + 1—·〕

6n2n

=兀R3 〔

3

2n1n1〕 n11 —·n6n2

4n23n1

=兀R ·

6n2

=兀R3 ·（

211

2） +

32n6n11

当n趋近于∞时， = 0，2 = 0，

2n6n2

所以V半球 = 兀R3（ + 0 + 0 ）

323

= 兀R

34

V球体体积 = 兀R3。

3



3

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