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映射的扩展
【知识在线】
1．对于映射f：A→B，下列说法正确的是 （ ） A．A中某一元素的象可以不止一个 B．B中某一元素的原象可以不止一个 C．A中两个不同元素的象必不相同 D．B中两个不同元素的原象可能相同
2．设集合A={a，b，c}，B={m，n，p}，那么从集合A到B可以建立 个一一映射． 3．已知A=B=R，x∈A，y∈B，且f：x→y=ax+b，若5和20的原象分别是5和10，则7在f下的象为 ．
4．下列函数中，表示同一函数的是 （ ） x2-1
A．f(x)=1，g(x)=x°B．f(x)=x+1，g(x)= C．f(x)= x2，g(x)=|x| D．f(x)=x，g(x)=(x)2
x-1【讲练平台】例1 在对应法则“f”下，给出下列从集合A到集合B的对应： （1）A=N，B=R，f：x→y=；（2）A=N，B=Z，f：x→y=(1)x；
x1
（3）A={x∣x是平面内的三角形}，B={y∣y是平面内的圆}，f：x→y是x的外接圆． 其中能构成映射的是（ ）A．（1）、（2） B．（1）、（3） C．（2）、（3） D．（2） 分析 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f下，对于集合A中的任一元素在B中是否都有唯一的象． ．．．．
解 在（1）中，元素“0”在B中没有象，不满足“任意性”，故不能构成映射．在（2）中，当x为偶数时，其象为1；当x为奇数时，其象为-1，而1，-1∈B，即A中任一元素在B中都有唯一的象．
在（3）中，因为任一三角形都有唯一的外接圆，所以（2）、（3）能构成映射．答案选C． 点评 ①判断一个对应是否能构成映射，应紧扣映射定义．②在课本中，已规定0是自然数，忽视了这一点，将误认为对应（1）是映射．③在映射f：A→B中，A、B的地位是不对等的，它并不要求B中元素均有原象，或有原象也未必唯一．一般地，若A中元素的象的集合为C，则CB．如（2）中除1，-1以外的任何元素均无原象，（3）中任一圆的内接三角形都有无数个．④映射中的集合元素的对象是任意的，可以是数集、点集或其他任意对象，如（3）中的集合对象是几何图形．
变题 设集合A={x∣x是平面内的圆}，B={y∣y是平面内的矩形}，f：x→y是x的内接矩形．试问它能否构成映射？ 答案：不能 例2（1999年全国高考） 已知映射f：A→B，其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它们对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是 （ ） A．4 B．5 C．6 D．7
分析 本题主要考查映射的概念及对对应概念的理解．解本题应抓住：①对应法则f是什么？②集合B中的具体元素是什么？而②的解决由①来决定．
解 依题意，由A→B的对应法则为f：a→|a|．于是，将集合A中的7个不同元素分别取绝对值后依次得3，2，1，1，2，3，4．由集合元素的互异性可知，B={1，2，3，4}，它有4个元素，答案选A．
点评 ①准确理解题目本身所给的信息，捕捉对解题有用的成份，是解决问题的关键． ②不能忽视集合元素的三大特性在解题中的应用．本能中如果忽视集合元素的互异性，将导致错选D．
例3 设A={(x，y)∣x∈R，y∈R }．如果由A到A的一一映射，使象集合中的元素(y-1，x+2)和原象集合中的元素(x，y)对应，那么象(3，-4)的原象是 （ ） A．（-5，5） B．（4，-6） C．（2，-2） D．（-6，4）
分析 由象与原象的概念可知，本题中的对应法则是f：(x，y)→(y-1，x+2)，问题即：当点(y-1，x+2)是（3，-4）时，对应的x，y的值分别是多少？于是由
x6y13
y4x24
，即象（-3，4）的原象是（-6，4），选D．
点评 ①已知原象要求象，只需根据对应法则直接代入计算；已知象元素，反求原象，需逆向思考，通常借助方程思想，通过解方程组来解决．②在映射f：A→B中，A是原象集合，B是象的集合，对应法则是f：原象→象，二者顺序不能颠倒，否则将误选A；点(x，y)是有序数对，x，y的顺序不能搞错，否则将误选B．
例4 设A={x∣0≤x≤2}，B={y∣1≤y≤2}，图1中表示A到B的函数是
分析 可根据映射观点下的函数定义直接求解．首先C图中，A中同一个元素x（除x=2)与B中两个元素对应，它不是映射，当然更不是函数；其次，A、B两图中，A所对应的“象”的集合均为{y∣0≤y≤2}，而{y∣0≤y≤2} B={y∣1≤y≤2}，故它们均不能构成函数．从而答案选D．
点评 函数首先必须是映射，是当集合A与B均为非空数集时的映射．因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：①集合A与B是否为非空数集；②f：A→B能否为一个映射．另外，函数f：A→B中，象的集合M叫函数的值域，且MB．
2
【知能集成】1．理解映射的概念，应紧紧抓住映射的两个特性：①任意性；②唯一性．2．判断一个对应是不是映射或一一映射，应“回到定义去”；说明一个对应不是映射或一一映射，只须找出一个反例．3．深化对函数概念的理解，能从函数三要素（定义域、值域与对应法则）的整体上去把握函数概念．在函数三要素中，定义域和对应法则是函数的核心，两个函数当且仅当二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．
【知识在线】1．B 2．6 3． 11 4． C
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/b55f731b3a68011ca300a6c30c2259010202f3c6.html
2022-04-13
