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第27届 IMO
1. d是不为2,5,13的正整数，试证明可以在集合{2, 5, 13, d}中找出不同的两数a,b满足ab-1不是一个完全平方数。
2. 在三角形 A1A2A3 所在的平面上有一给定点P0，当s>=4时定义 As = As-3 ，现使用以下的方法构造一系列点P1, P2, P3, ...： Pk+1 是 Pk 绕 Ak+1 顺时针旋转120度得到的点（k = 0, 1, 2,...）。如果 P1986 = P0，求证A1A2A3是等边三角形。 3. 给正五边形的每个顶点赋值一个整数，使这5个整数之和是正的。对于任何三个连续的顶点设它们所赋予的数分别是x,y,z，如果y < 0则执行下述操作：将x,y,z分别替换为x + y, -y, z + y。重复执行这样的操作直到这5个顶点数中至少有一个是负值。试问能否经过有限步之后操作结束。
4. O是正n(n >= 5)边形的中心 ，设 A, B 是一对相邻的顶点。设开始的时候三角形XYZ与三角形OAB重合，现用如下的方式移动三角形XYZ：保持Y、Z始终在多边形的边界上、X在多边形的内部。试求出当Y、Z都走遍多边形的边界时X点所形成的轨迹。 5. 试找出所有定义在非负实数并取值也是非负实数的函数 f，使其满足f(2) = 0；当 0<= x <2时f(x)不等于0；对所有x,y都有f(xf(y))f(y)=f(x+y)。
6. 给定平面上的一个有限点集，每个点的坐标都是整数，问有没有一种将这些点涂成红色或白色的染色方法使得在任何一条平行于坐标轴（两个坐标轴中的任何一个）的直线 L上的红点和白点的个数之差不大于1？
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2022-03-21
