含参数的形如一元二次函数的最值问题

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高中数学

含参数的形如一元二次函数的最值问题

题目形式：设f(x)A(m)x2B(m)xC(m)，其中m为参数，求f(x)在区间[a,b]上的最大最小值。 解法：

1、 当A(m)0且B(m)0时，则f(x)C(m)为常量，f(x)minf(x)maxC(m) 2、 当A(m)0且B(m)0时，f(x)为一次函数

（1）B(m)0，f(x)minf(a)，f(x)maxf(b) （2）B(m)0，f(x)minf(b)，f(x)maxf(a) 3、当A(m)0时，f(x)为二次函数，对称轴方程为x

B(m)



2A(m)

（1）A(m)0

①当x

B(m)

a时，f(x)minf(a)，f(x)maxf(b)

2A(m)

B(m)ab4A(m)C(m)B2(m)

②当ax时，f(x)min，f(x)maxf(b)

2A(m)24A(m)abB(m)4A(m)C(m)B2(m)xb时，f(x)min③当，f(x)maxf(a) 22A(m)4A(m)

④当x

B(m)

b时，f(x)minf(b)，f(x)maxf(a)

2A(m)

（2）A(m)0

①当x

B(m)

a时，f(x)minf(b)，f(x)maxf(a)

2A(m)

B(m)ab4A(m)C(m)B2(m)

②当ax时，f(x)minf(b)，f(x)max

2A(m)24A(m)abB(m)4A(m)C(m)B2(m)xb时， f(x)minf(a)，f(x)max③当 22A(m)4A(m)

④当x



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B(m)

b时，f(x)minf(a)，f(x)maxf(b)

2A(m)


高中数学

例题1：设f(x)x2(m1)xm22m，若在区间[2,4]上恒有f(x)0，求m的取值范围 解：对称轴方程为x（1） 当

1m

，A(m)10 2

1m

2时，即m5时，f(x)minf(2)m24m60，mR，m5 2

1m4(m22m)(m1)23m26m1

4时，即7m5时，f(x)min0， （2） 当2244

m（3） 当

323323323323

，  或mm5或7m

3333

1m

4时，即m7时，，f(x)minf(4)m22m120，mR，m7 2

综上所述：m(,

323323

)(，）

33

习题1：设f(x)(m1)x2(m2)x32m，若在区间[2,1]上恒有f(x)0，求m的取值范围 习题2：设f(x)

122xx3，若在区间[2,3]上恒有f(x)0，求m的取值范围 mm1

习题3：设f(x)(m21)x2(2m22m1)xm22m8，若在区间[4,4]上恒有f(x)0，求m的取值范围

习题4：设f(x)(2m4)x2(2m6)x1，若在区间[4,4]上恒有f(x)0，求m的取值范围 习题5：设f(x)(log31)x2(log32)xlog3，若在区间[4,4]上恒有f(x)0，求m的取值范围 习题6：设f(x)cosmx2(sinm2)xcosm，若在区间[4,4]上恒有f(x)0，求m的取值范围

m

m

m

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