单调性的证明

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函数单调性的证明

单调性的定义：

① D区间内 任取 x1x2f(x1)f(x2)

则函数f(x)在区间D上是增函数。

② D区间内 任取 x1x2f(x1)f(x2)

则函数f(x)在区间D上是减函数。

单调性证明步骤：⑴ 任取 ⑵ 做差 ⑶ 判号 ⑷结论 例1、 证明：函数y2x24x在（，1）上是减函数。

证明：任取 x1x21 令yf(x)2x24x 则， f(x1)f(x2)2x14x1(2x24x2)

2x14x12x24x2 2x12x24x14x2 2(x1x2)4(x1x2) 2(x1x2)(x1x2)4(x1x2) (x1x2)[2(x1x2)4]  x1x21

∴ x1x20 x1x22

∴ 2(x1x2)4 ∴ 2(x1x2)40 ∴ (x1x2)[2(x1x2)4]0

∴ f(x1)f(x2)0 ∴ f(x1)f(x2) ∴ 函数y2x4x在（，1）上是减函数。 变式训练1：证明：函数y2x4x在（，-1）上是增函数。

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例2、证明：函数f(x)

1

在（-1，）上是减函数。 x1

证明：任取 1x1x2 ， 则 f(x1)f(x2)

11



x11x21



1(x21)1(x11)



(x11)(x21)(x21)(x11)(x21)(x11)x21x11



(x11)(x21)(x11)(x21)(x2x1)



(x11)(x21)





 1x1x2

∴ x2x10 x110 x210 ∴

(x2x1)

0 ∴ f(x1)f(x2)0

(x11)(x21)

∴ f(x1)f(x2)

1

在（-1，）上是减函数。 x11

变式训练1: 证明：函数f(x)在（1，）上是增函数。

1x

∴ 函数f(x)

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