二项式定理教学教案(详案)

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二、讲授新课（启发、引导，25分钟） 思路一：



提问：1、以（a+b）2＝a2+2ab+b2为例，展开式中各项字母的形式是什么？展开式项的系数又是什么？有几项？

2、展开式中各项的系数与展开式中各项的次数有没有关系？ 3、你能猜想（a+b）3、（a+b）4……（a+b）n展开式的形式吗？观察下面等式： （a+b）＝a+b

（a+b）2＝a2+2ab+b2

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab3+b4

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（1）展开式中各项是幂的形式，可按a（或b）的降幂排成；

（2）展开式中各项系数的规律：将上式中展开式的系数列成表如下： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ………… 发现：

发现每行两端都是1，后一行其它各数是上一行肩上二数之和。再从一个数等于另二数之和联想到结合数及其性质：于是各项系数可写成表中形式：由此猜想 展开式的各项系数：

思路二：观察下式： （a+b）4＝（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）

由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得，故每一项都是形式，即各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，

故含a4的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即C40a4，系数为：

C40；

含a3b的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而得，即C41a3b，系数为：

C41；

含a2b2的项只能由2个括号取a，余下的2个括号取b而得，即C42a2b2，系数为：

C42；

含的ab3的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而得，即C43a3b，系数为：

C43；

含b4的项只能由4个括号都取b而得，即C44b4，系数为C44； 从而可得：

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4



提问：的展开式怎么写呢？引导学生回答：可以对b分类：：不取b，得取1个b，取得2个b，得…………取k个b，得…………取n－1个b，得取n个b，得将这n+1个式子相加，可得二项式定理

（a+b）n

＝Cn0anb0+ Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+……+ Cnkan-kbk+……+ Cnna0bn（n≥k,n,k∈N+）

完善结论：把上述探索得到的结果叫做二项式定理，右边的多项式，共有n+1项，其中各项系数Cni（i=1,2,3……,n）叫做二项式系数，其通项公式为：Tk+1=Cnkan-kbk（k=1,2,3……n）。说明：

（1）猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限，留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。

（2）二项式定理是个恒等式，定理中字母a,b可表示数或式，其中式中a与b是用“+”连接的。

（3）展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。 （4）通项公式表示的是第k+1项，不是第k项，且a,b位置不能对换。 （5）二项式系数为Cnk，注意与项的系数的区别。 三、例题（引导发现，15分钟）

例1 展开（1+1x

）4

。

解：（1+1）4

1+（4111314

641

x

=

x）+6(x)2+（4x）+（x

）

= 1+4x+

x2+x3+x4



例2 求（x-1x

）9

的二项展开式中x3的系数。

解：二项展开式的通项

Tr

9-r

r+1=C9

x

(-1)r

=(-1)Cr9-2rx

9x 根据题意，得

9-2r=3

r=3

因此，x3的系数是

(-1)C3

8×7

9=-

9×3×2×1

=-84

四、练习（启发、引导发现，25分钟）

1、展开（x3-2x）

7

。 2、求（x+18

x

）的二项展开式中x2的系数。


注意：展开式中第r+1项的二项式系数Crn与第r+1项的系数含义不同。 五、课堂小结（引导提问，10分钟） 1、二项式定理

(a +b)n =C0nan +C1nan－1b+…+Crnan－rbr +…＋Cnnr

nb，其中各项系数就是组合数Cn，

展开式共有n+1项，第r+1项是Tr+1 =Cr nan－rbr.

2、 二项展开式的通项公式

二项展开式的第r+1项T－rr+1=Cr nanbr(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 六、课后作业（10分钟） 习题36 第2、3、4题



课后记：



教学教案

授课教师 ** 职称

高讲

教龄

18

科目 数学 班级 师11班

时间 2019年9月17 日

课时

2

课题

二项式定理

知识目标：理解二项式定理，会用二项式定理求二项展开式。理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。

教学目的

能力目标：会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。

要求 情感目标：让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的

简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情。 教学重点 重点：1、掌握二项式定理以及二项展开式的规律。

2、区别“系数”、“二项式系数”等概念 教学难点 难点：1、二项展开式的规律的理解和掌握。

2、“二项式系数”和“系数”的区别。 课型及课时 新授课、2课时

教学方法 启发，引导发现法，练习．

二项式定理

一、二项式定理 三、例题

(a+b)n=C0n1na+Cn

an-1b++Crn-rrnn板书提纲

nab++Cnb 四、练习 二、二项展开式的通项公式 五、课堂小结 Tr-rr+1=Cnanbr

教学进程（各教学环节的教学内容教学方法和时间分配）

一、导入新课（提问，5分钟）

复习回顾：

[提问]初中学过的完全平方公式是什么？ 你能写出（a+b）3，（a+b）4的展开式吗？

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