二项式定理教学教案(详案)

2023-01-08 01:05:10   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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二、讲授新课(启发、引导,25分钟) 思路一:



提问:1、以(a+b2a2+2ab+b2为例,展开式中各项字母的形式是什么?展开式项的系数又是什么?有几项?

2、展开式中各项的系数与展开式中各项的次数有没有关系? 3、你能猜想(a+b3a+b4……(a+bn展开式的形式吗?观察下面等式: a+b)=a+b

a+b2a2+2ab+b2

a+b3a3+3a2b+3ab3+b4

a+b4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

1)展开式中各项是幂的形式,可按a(或b)的降幂排成;

2)展开式中各项系数的规律:将上式中展开式的系数列成表如下: 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ………… 发现:

发现每行两端都是1,后一行其它各数是上一行肩上二数之和。再从一个数等于另二数之和联想到结合数及其性质:于是各项系数可写成表中形式:由此猜想 展开式的各项系数:

思路二:观察下式: a+b4=(a+ba+ba+ba+b

由多项式乘法知,其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得,故每一项都是形式,即各项系数是由相同的项合并而成的,有几项其系数就是几,

故含a4的项只能由每个括号取a不取b(或说取0b而得,C40a4系数为:

C40

a3b的项只能由3个括号取a,余下的1个括号取b而得,即C41a3b,系数为:

C41

a2b2的项只能由2个括号取a,余下的2个括号取b而得,即C42a2b2,系数为:

C42

含的ab3的项只能由1个括号取a余下的3个括号取b而得,C43a3b系数为:

C43

b4的项只能由4个括号都取b而得,即C44b4,系数为C44 从而可得:

a+b4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4



提问:的展开式怎么写呢?引导学生回答:可以对b分类:不取b,得取1b取得2b得…………取kb得…………取n1b得取nb得将这n+1个式子相加,可得二项式定理

a+bn

Cn0anb0+ Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+……+ Cnkan-kbk+……+ Cnna0bnnk,n,kN+

完善结论:把上述探索得到的结果叫做二项式定理,右边的多项式,共有n+1项,其中各项系数Cnii=1,2,3……,n)叫做二项式系数,其通项公式为:Tk+1=Cnkan-kbkk=1,2,3……n说明:

1)猜证法是数学中常用方法,本定理是由不完全归纳法得出,需加以证明。其证明因目前知识所限,留待以后完成,目前,只要求同学熟记并会应用

2)二项式定理是个恒等式,定理中字母a,b可表示数或式,其中式中ab用“+”连接的。

3)展开式共有n+1项,各项次数为n,它是按字母a降幂,b升幂排列。 4)通项公式表示的是第k+1项,不是第k项,且a,b位置不能对换。 5)二项式系数为Cnk,注意与项的系数的区别。 三、例题(引导发现,15分钟)

1 展开1+1x

4



解:1+14

1+4111314

641

x

=

x+6(x)2+4x+x



= 1+4x+

x2+x3+x4



2 x-1x

9

的二项展开式中x3的系数。

解:二项展开式的通项

Tr

9-r

r+1=C9

x

(-1)r

=(-1)Cr9-2rx

9x 根据题意,得

9-2r=3

r=3

因此,x3的系数是

(-1)C3

8×7

9=-

9×3×2×1

=-84

四、练习(启发、引导发现,25分钟)

1、展开x3-2x

7

2、求x+18

x

的二项展开式中x2的系数。


注意:展开式中第r+1项的二项式系数Crn与第r+1项的系数含义不同。 五、课堂小结(引导提问,10分钟) 1、二项式定理

(a +b)n =C0nan +C1nan1b++Crnanrbr +…+Cnnr

nb,其中各项系数就是组合数Cn

展开式共有n+1项,第r+1项是Tr+1 =Cr nanrbr.

2 二项展开式的通项公式

二项展开式的第r+1Trr+1=Cr nanbr(r=0,1,n)叫做二项展开式的通项公式。 六、课后作业(10分钟) 习题36 234



课后记:



教学教案

授课教师 ** 职称

高讲

教龄

18

科目 数学 班级 11

时间 2019917

课时

2

课题

二项式定理

知识目标:理解二项式定理,会用二项式定理求二项展开式。理解和掌握二项展开式的规律,利用它能对二项式展开,进行相应的计算。

教学目的

能力目标:会区别“系数”“二项式系数”等概念,灵活正用和逆用展开式。

要求 情感目标:让学生感受数学内在的和谐,对称美及数学符号应用

简洁美,进一步结合“杨辉三角”,对学生进行爱国主义教育,激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情。 教学重点 重点:1、掌握二项式定理以及二项展开式的规律。

2、区别“系数”“二项式系数”等概念 教学难点 难点:1、二项展开式的规律的理解和掌握。

2“二项式系数”和“系数”的区别。 课型及课时 新授课、2课时

教学方法 启发,引导发现法,练习.

二项式定理

一、二项式定理 三、例题

(a+b)n=C0n1na+Cn

an-1b++Crn-rrnn板书提纲

nab++Cnb 四、练习 二、二项展开式的通项公式 五、课堂小结 Tr-rr+1=Cnanbr

教学进程(各教学环节的教学内容教学方法和时间分配)

一、导入新课(提问,5分钟)

复习回顾:

[提问]初中学过的完全平方公式是什么? 你能写出(a+b3a+b4的展开式吗?


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