三角形外心内心重心垂心与向量性质

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三 角 形 的“四 心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心;当三角形是正三角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中心;

一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心, 即外接圆圆心;ABC的重心一般用字母O表示; 性 质：

1.外心到三顶点等距,即OAOBOC;

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即

ODBC,OEAC,OFAB.

3.向量性质：若点O为ABC所在的平面内一点,满足

(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC,则点O为ABC的外心;



二、三角形的内心

定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心;ABC的内心一般用字母I表示,它具有如下性质： 性 质：

1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角; 2.三角形的面积＝

1

三角形的周长内切圆的半径． 2

3.向量性质：设0,,则向量AP(

AB

|AB||AC|



AC

),则动点

P的轨迹过ABC的内心;






三、三角形的垂心

定 义：三角形三条高的交点叫重心;ABC的重心一般用字母H表示; 性 质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边, 即AHBC,BHAC,CHAB; 2.向量性质：

结论1：若点O为ABC所在的平面内一点,满足

OAOBOBOCOCOA,则点O为ABC的垂心;

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点,满足OABCOBCAOCAB, 则点O为ABC的垂心;

2

2

2

2

2

2

四、三角形的“重心”：

定 义：三角形三条中线的交点叫重心;ABC的重心一般用字母

G表示;

性 质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边;

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍;

即GA2GD,GB2GE,GC2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即xG

xAxBxCyyByC

. ,yGA

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4.向量性质：1GAGBGC0； 2PG

1

(PAPBPC); 3

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