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向量公式大全
向量公式
设a=〔x，y〕，b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法那么和三角形法那么。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x' ，y+y')。 a+0=0+a=a。
向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减〞 a=(x,y)b=(x',y') 那么a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λ a，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向 线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向〔λ＞0〕或反方向〔λ＜0〕上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向〔λ＞0〕或反方向〔λ＜0〕上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量对于数的分配律〔第一分配律〕：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律〔第二分配律〕：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义：两个非零向量
a,b。作OA=a,OB=b,那么角AOB称作向量a和向量b
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的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积〔内积、点积〕是一个数量，记作
a?b。假设a、b 不
共线，那么a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；假设a、b共线，那么a?b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示： a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a〔交换律〕；
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；
a+b)?c=a?c+b?c〔分配律〕；向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。
⊥b〈=〉a?b=0。|a?b|≤|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点
、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c(a≠0)，推不出b=c。 、|a?b|≠|a|?|b|
、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积〔外积、叉积〕是一个向量，记作a×b。假设a、b不共线，那么a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。假设a、b共线，那么a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。
‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a；
〔λa〕×b=λ〔a×b〕=a×〔λb〕； 〔a+b〕×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD〞是没有意义的。
向量的三角形不等式
、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； 当且仅当a、b反向时，左边取等号； ②当且仅当a、b同向时，右边取等号。
、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 当且仅当a、b同向时，左边取等号； ②当且仅当a、b反向时，右边取等号。
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/b110b6db935f804d2b160b4e767f5acfa0c78397.html
2022-12-31
