向量公式大全

2022-12-31 21:03:26   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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向量公式大全





向量公式

a=xy〕,b=(x'y')



1、向量的加法



向量的加法满足平行四边形法那么和三角形法那么。 AB+BC=AC a+b=(x+x' y+y') a+0=0+a=a

向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a

结合律:(a+b)+c=a+(b+c)



2、向量的减法



如果ab是互为相反的向量,那么a=-bb=-aa+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减〞 a=(x,y)b=(x',y') 那么a-b=(x-x',y-y').



4、数乘向量



实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λ a,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。 λ>0时,λaa同方向; λ<0时,λaa反方向; λ=0时,λa=0,方向任意。

a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0a=0

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向 线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向〔λ>0〕或反方向〔λ<0〕上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向〔λ>0〕或反方向〔λ<0〕上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量对于数的分配律〔第一分配律〕:(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律〔第二分配律〕:λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0λa=λb,那么a=b。②如果a≠0λa=μa,那么λ=μ。



3、向量的的数量积

定义:两个非零向量

a,b。作OA=a,OB=b,那么角AOB称作向量a和向量b

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的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义:两个向量的数量积〔内积、点积〕是一个数量,记作



a?b。假设ab

共线,那么a?b=|a|?|b|?cosab〉;假设ab共线,那么a?b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示: a?b=x?x'+y?y' 向量的数量积的运算律 a?b=b?a〔交换律〕;

(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)

a+b)?c=a?c+b?c〔分配律〕;向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。

⊥b〈=a?b=0。|a?b|≤|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点

、向量的数量积不满足结合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c);例如:(a?b)^2≠a^2?b^2。 2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a?b=a?c(a≠0),推不出b=c 、|a?b|≠|a|?|b|

、由|a|=|b|,推不出a=ba=-b



4、向量的向量积



定义:两个向量ab的向量积〔外积、叉积〕是一个向量,记作a×b。假设ab不共线,那么a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈ab〉;a×b的方向是:垂直于ab,且aba×b按这个次序构成右手系。假设ab共线,那么a×b=0。



向量的向量积性质:

∣a×b∣是以ab为边的平行四边形面积。 a×a=0。

‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a;

〔λa〕×b=λ〔a×b〕=a×〔λb〕; a+b〕×c=a×c+b×c.

注:向量没有除法,“向量AB/向量CD〞是没有意义的。



向量的三角形不等式



、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; 当且仅当ab反向时,左边取等号; ②当且仅当ab同向时,右边取等号。

、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 当且仅当ab同向时,左边取等号; ②当且仅当ab反向时,右边取等号。

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