对数的基本性质

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对数的基本概念

目的：要求学生理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化，并由此求一些特

殊的对数式的值。 进程：

一、引入：从指数导入。

假设1995年我国的国民生产总值为 a亿元，如每年平均增长8%，

那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？

设：经过x年国民生产总值是1995年的2倍

则有 a18%x2a 1.08x2

这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式 abN中，已知a 和

N求b的问题。（这里 a0且a1）

二、课题：对数

定义：一般地，如果 aa0,a1的b次幂等于N, 就是 abN，那么数 b叫

做 a为底 N的对数，记作 logaNb，a叫做对数的底数，N叫做真数。

ab

N

logaNb

1．在指数式中 N > 0 （负数与零没有对数） 2．对任意 a0且 a1, 都有 a01 ∴loga10

同样易知： logaa1

3．如果把 abN 中的 b写成 logaN, 则有 alog

a

N

N（对数恒等式）

三、对数式与指数式的互换，并由此求某些特殊的对数。

例如： 4216 log4162 102100 log101002

142

2

log1422

1020.01 log100.012

例一、 例一、例二

例二、1．计算： log927，log

4

3

81，log2323

，log

3

54

625

解：设 xlog927 则 ax27, 32x33, ∴x3

2



x

设 xlog

4

3

81



则x

43

81,

34

34,

∴x16

令 xlog3

23=log232312, ∴23x231

, ∴x1 x4

令 xlog

3

5

4

625, ∴354

625, 53x54, ∴x5 



2．求 x 的值：①log33x ②log542x3



③log2x2

13x22x1

1 ④log2log3log4x0

解：①x3



34



1

4



27②x2



53



1

2



32

③3x22x12x21x22x0x0,x2

2x2但必须：102x2

11 ∴x0舍去 x2



3x22x10④log3log4x1, ∴log4x3, x4364 3．求底数：log37x35, logx28





3解：3

5

x

5

3533

, ∴x3



53



7788

x8

2

27



, ∴x2 


四、介绍两种特殊的对数：

1．常用对数：以10作底 log10N 写成 lgN 2．自然对数：以 e作底 e为无理数，e = 2.71828……

logeN 写成 lnN

五、小结：1°定义 2°互换 3°求值

六、作业：

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