两圆外切的性质与应用

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两圆外切的性质与应用



两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种关系，当相切的两个圆，除了切点外，每个圆上的点都各在另一个圆的外部时，我们称这两个圆外切。而且外切关系是两圆位置关系中比较重要的一种关系，它具有的性质较多。

4 性质（1） 外切两圆的连心线必经过它们的切点，且两个圆心之间的距离d（圆心距） 等于两个圆的半径之和，即d=R+r

两圆外切，其中任一个圆的过两圆切点的切线，也必是另一个圆的切线，也就是说， 两个圆心及切点这三点共线。

例1 若两圆半径分别为R，r(R＞r)，其圆心距为d,且 系是__________. 解：因为R所以R所以

2

2

R

2

d

2

r

2

2Rr

，则两圆的位置关

d

2

r

2

2

2Rr,

2



2Rrr

2

2

d,

(Rr)d,所以Rrd,



所以d=R+r(R+r=-d不合题意). 因此两圆的位置关系是外切.

二、外切的两圆，共有三条公切线，其中两条是外公切线，一条是内公切线，内公切线过两圆的切点且垂直于它们的连心线。

如图1，半径为r、R的⊙O1与⊙O2外切，外公切线AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，那么AB就是外公切线长。连O1A，O2B，由切线性质知

O1AAB,O2BAB,过O1作O2B垂直O1C.

可证得四边形ABCD为矩形，得



O1CAB,BCO1Ar

，

因此，O2C

Rr

，

而在RtΔO1O2C中，

O1O2Rr,O2CRr,



2

于是ABO1C



(Rr)

2

O1O

2

2

O2C

2

(Rr)

4Rr2Rr.于是有：



性质(2) 外公切线长等于2

Rr


7 两圆外切,经常添的辅助线是内公切线,因为内公切线可以产生两圆相等的弦切角,可将两

圆的元素联系起来.

性质(3) 添内公切线是解决两圆外切问题的金钥匙. 例2 已知如图2, ⊙

O2

O1与

⊙O2外切于点C,PA切⊙O2于点A,交⊙O1于点P、D，直接PC交⊙

于点B。

求证：AC平分∠BCD。 解：过C作⊙

O1与

⊙O2的内公切线`MN交AP于M，所以∠MCD=∠P.

又PA切⊙O2于点A,

所以∠MAC=∠ACM,

所以∠ACB=∠P+∠MAC=∠MCD+∠MCA=∠DCA. 即AC平分∠BCD. 四.看下一例:如图3, ⊙

ABP

O1与

⊙O2外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A、B,求证

为直角三角形.



解:过P作内公切线交AB于E,由切线长定理知EB=EP,EP=EA,即EB=EP=EA,根据定理(在一个三角形中,一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是直角三角形)知ABP为直角三角形.

此题中AB为外公切线与两圆的切点,P为两圆切点.

我们习惯上把ABP称为切点三角形.

在关于两圆外切关系的几何证明题中,运用切点三角形来分析问题,解决问题,可以收到事半功倍的效果,它的应用在两圆外切中尤为重要. 性质(4) 切点三角形是直角三角形. 例4(重庆市中考题)如图4, ⊙⊙

O1与

O1与

⊙O2外切于点P,内公切线PC与外公切线AB(A、B分别是

O1与

⊙O2上的切点)相交于点C,已知⊙⊙O2的半径分别为3、4,则PC的长等于

________.

分析:由于AB为外公切线,由性质(2)知

AB2Rr23443.



又由性质(4)知

CP

12

AB23.

APB

为直角在三角形且CP=CB=AC,故CP为斜边AB上的中线,因此



O1与



例5.如图5, ⊙

⊙O2外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A、B,连心线O1O2交

DQ

⊙O1于C,交⊙O2于D,CA与DB的延长线相交于Q,求证:CQ

.




简析：连AP、BP,由上题知∠APB=Rt∠,又∠CAP=∠PBD=Rt∠,故由四边形内角和定理知∠Q=Rt∠,即CQ

DQ。

两圆外切关系的这些性质,在解题时要灵活的应用.在例4、例5中的切点三角形并不是现成有的,而是添线构造出来的,难度稍大些,因此脑子中对切点三角形这些性质必须有深刻的印象,才能举一反三,触类旁通.

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