一 比较法

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一 比較法

目的要求： 掌握證明不等式的基本的解法之----比較法。 重點難點： 掌握作差比較和作商比較各自的使用情景 教學設計：

目的：以不等式的等價命題為依據，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要

求學生能教熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。

過程： 一、復習：

不等式的一個等價命題：

要证明ab,最基本的方法就是证明ab0.即把不等式两边相减,转化为

比较差与0的大小.

二、作差法：

1． 1已知a,b都是正数,且ab,求证a3b3a2bab2.例

分析可以把不等式两边相减,通过适当的恒等变形,转化为一个能够明确确 定正负的代数式.

2. 例2.如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则其浓度为a.若在上述溶液中再添

b

am

加m,将这个事实抽象为数学问题, kg白糖,此时浓液的浓度增加到

bm

并给出证明.

ama

已知a, b, m都是正數，並且a < b，求證：

bmb 證：

amab(am)a(bm)m(ba)

 bmbb(bm)b(bm)

∵a,b,m都是正數，並且a<b，∴b + m > 0 , b  a > 0 ∴

m(ba)ama

0 即：

b(bm)bmb

變式：若a > b，結果會怎樣？若沒有“a < b”這個條件，應如何判斷？

3.甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m  n，問：甲乙兩人誰先到達指定地點？

解：設從出發地到指定地點的路程為S，甲乙兩人走完全程所需時間分別是t1, t2，

則



t1t

m1nS,22SS

t2 2m2n




可得：t1

2SS(mn)

,t2

mn2mn

2SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2

∴t1t2 mn2mn2(mn)mn2mn(mn)

∵S, m, n都是正數，且m  n，∴t1  t2 < 0 即：t1 < t2 從而：甲先到到達指定地點。 變式：若m = n，結果會怎樣？

三、作商法

例3已知a,b是正数,求证aabbabba,当且仅当ab时,等号成立.



分析由于 a,b是正数,所以不等式两边都是正数.由于要证的不等式两边都是指数形式,把它 们相除并考察商式与1的大小关系比较方便.

作商法步驟與作差法同，不過最後是與1比較。 小結：

• 比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的一種方法，用比較法證明不等式的步驟是：

• 作差—變形—判斷符號—下結論。 • 作商—變形—與1比較大小---下結論。

• 要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形。

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