特殊四边形中常添加的辅助线

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特殊四边形---作辅助线

添加辅助线解特殊四边形

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.

知识点一：平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形〔包括矩形、正方形、菱形〕的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： 〔1〕连对角线或平移对角线：

〔2〕过顶点作对边的垂线构造直角三角形

〔3〕连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

〔4〕连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

〔5〕过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等. 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1、 如图1，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AECF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等〔只需证明一条线段即可〕

⑴连结BF⑵BFDE

⑶证明：连结DB,DF,设DB,AC交于点O

∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AOOC,DOOB ∵AEFC∴AOAEOCFC 即OEOF

∴四边形EBFD为平行四边形 ∴BFDE

D

C

F

O

E

A

图1

B

A

图2

B

E

O

D

C

第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例2、如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC12，BD10，ABm，那么m的取值X围是〔 〕

A 1m11 B2m22 C 10m12 D 5m6

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解：将线段DB沿DC方向平移，使得DBCE,DCBE,则有四边形CDBE为平行四边形,∵在ACE中,AC12,CEBD10,AE2AB2m

∴12102m1210，即22m22 解得1m11 故选A 第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例3、已知：如图3，四边形ABCD为平行四边形

求证：AC2BD2AB2BC2CD2DA2

证明：过A,D分别作AEBC于点E，DFBC的延长线于点F ∴AC2AE2CE2AB2BE2(BCBE)2AB2BC22BEBC

BD2DF2BF2(CD2CF2)(BCCF)2CD2BC22BCCF

则AC2BD2AB2BC2CD2DA22BCCF2BCBE ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD且ABCD,ADBC ∴ABCDCF∵AEBDFC900∴ABEDCF∴BECF∴

AC2BD2AB2BC2CD2DA2

C

D

A

3

E

1

P

FD

2

B

E

图3

C

F

B

图4

A

K

第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例4：已知：如图4，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：APAB

证明：延长CF交BA的延长线于点K，∵四边形ABCD为正方形

∴AB∥CD且ABCD,CDAD,BADBCDD900 ∴1K 又∵DDAK900,DFAF∴CDF≌KAF ∴AKCDAB∵CE

11

CD,DFAD∴CEDF 22

∵BCDD900∴BCE≌CDF∴12∵13900 ∴23900∴CPB900,则KPB900∴APAB

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第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。

例5、如图5，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。

解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有AED∽FEC,

FAB∽FEC,AED∽FAB

A

A

DE

N

F

B

图5

C

F

B

E

图6

C

O

D



第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线 例6、已知：如图6，在平行四边形ABCD中，ANBN,BE

交BD于F，求BF:BD

解：连结AC交BD于点O,连结ON

∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OAOC,OBOD

1

BC,NE 3

BD

2

11BEBF

∵ANBN∴ON∥BC且ONBC∴ 

22ONFO

1BF2

∵BEBC∴BE:ON2:3∴

3FO3BF2∴∴BF:BD1:5 BO5

综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形〔或特殊三角形〕、矩形〔梯形〕等图形，为证明解决问题创造条件。 知识点二：和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

例7 、如图7，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形. 分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有两种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD是∠BAC的平分线，AE=AC，可通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE.求AD平分CE.

证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE，得△ACE是等腰三角形，

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