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1.如图5－2－12所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R.一个质量为m的物体(可以看作质点)从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ.求：
(1)物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程； (2)最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；
(3)为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′应满足什么条件． 解析：(1)因为摩擦始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2θ的圆弧上往复运动． R对整体过程由动能定理得：mgR·cos θ－μmgcos θ·s＝0，所以总路程为s＝.
μ1
(2)对B→E过程mgR(1－cos θ)＝mv2①
2Emv2E
FN－mg＝②
R
由①②得对轨道压力：FN＝(3－2cos θ)mg. mv2D
(3)设物体刚好到D点，则mg＝③
R
12
对全过程由动能定理得：mgL′sin θ－μmgcos θ·L′－mgR(1＋cos θ)＝mvD④
23＋2cos θ
由③④得应满足条件：L′＝·R.
2(sin θ－μcos θ)3＋2cos θR
答案：(1) (2)(3－2cos θ)mg (3)·R
μ2(sin θ－μcos θ)
2．在2008年四川汶川大地震抗震救灾活动中，为转移被困群众动用了直升飞机．设被救人
员的质量m＝80 kg，所用吊绳的拉力最大值Fm＝1 200 N，所用电动机的最大输出功率为Pm＝12 kW，为尽快吊起被困群众，操作人员采取的办法是，先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，而后电动机又以最大功率工作，被救人员上升h＝90 m时恰好达到最大速度(g取10 m/s2)，试求：
(1)被救人员刚到达机舱时的速度； (2)这一过程所用的时间．
解析：(1)第一阶段绳以最大拉力拉着被救人员匀加速上升，当电动机达到最大功率时，功率保持不变，被救人员变加速上升，速度增大，拉力减小，当拉力与重力相等时速度
3
Pm12×10
达到最大．由Pm＝FTvm＝mgvm得vm＝＝ m/s＝15 m/s
mg80×10Fm－mg1 200－80×10(2)a1＝＝ m/s2＝5 m/s2
m80
3
v110Pm12×10
匀加速阶段的末速度v1＝＝ m/s＝10 m/s，时间t1＝＝ s＝2 s
Fm1 200a15
v110
上升的高度h1＝t1＝×2 m＝10 m
22
1212
对于以最大功率上升过程，由动能定理得：Pmt2－mg(h－h1)＝mvm－mv1
22代入数据解得t2＝5.75 s，所以此过程所用总时间为t＝t1＋t2＝(2＋5.75) s＝7.75 s. 答案：(1)15 m/s (2)7.75 s
3.如图5－2－18所示，质量m＝0.5 kg的小球从距离地面高H＝5 m处自由下落，到达地面
时恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆形槽的半径R＝0.4 m，小球到达槽最低点时速率恰好为10 m/s，并继续沿槽壁运动直到从槽左端边缘飞出且沿竖直方向上升、下落，如此反复几次，设摩擦力大小恒定不变，取g＝10 m/s2，求：
(1)小球第一次飞出半圆形槽上升到距水平地面的高度h为多少？ (2)小球最多能飞出槽外几次？
解析：(1)在小球下落到最低点的过程中，设小球克服摩擦力做功为Wf，由动能定理得： 1
mg(H＋R)－Wf＝mv2－0
2
从小球下落到第一次飞出半圆形槽上升到距水平地面h高度的过程中， 由动能定理得mg(H－h)－2Wf＝0－0
v2102
联立解得：h＝－H－2R＝ m－5 m－2×0.4 m＝4.2 m.
g10
(2)设小球最多能飞出槽外n次，则由动能定理得：mgH－2nWf＝0－0 mgHmgHgH
解得：n＝＝＝＝6.25
2Wf122g(H＋R)－v2
2mg(H＋R)－2mv故小球最多能飞出槽外6次． 答案：(1)4.2 m (2)6次
4．如图5－2－19甲所示，一竖直平面内的轨
道由粗糙斜面AD和光滑圆轨道DCE组成，AD与DCE相切于D点，C为圆轨道的最低点，将一小物块置于轨道ADC上离地面高为H处由静止下滑，用力传感器测出其经过C点时对轨道的压力FN，改变H的大小，可测出相应的FN的大小，FN随H的变化关系如图乙折线PQI所示(PQ与QI两直线相连接于Q点)，QI反向延长交纵轴于F点(0,5.8 N)，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)小物块的质量m；
(2)圆轨道的半径及轨道DC所对应的圆心角θ.(可用角度的三角函数值表示) (3)小物块与斜面AD间的动摩擦因数μ.
1
解析：(1)如果物块只在圆轨道上运动，则由动能定理得mgH＝mv2解得v＝2gH；
2
v2v22mg
由向心力公式FN－mg＝m，得FN＝m＋mg＝H＋mg；
RRR结合PQ曲线可知mg＝5得m＝0.5 kg.
2mg
(2)由图象可知＝10得R＝1 m．显然当H＝0.2 m对应图中的D点，
R1－0.2
所以cos θ＝＝0.8，θ＝37°.
1
(H－0.2)12
(3)如果物块由斜面上滑下，由动能定理得：mgH－μmgcos θ＝mv
sin θ28
解得mv2＝2mgH－μmg(H－0.2)
3
82mg－μmg
3vv1.6
由向心力公式FN－mg＝m得FN＝m＋mg＝H＋μmg＋mg
RRR3
2
2
1.6
结合QI曲线知μmg＋mg＝5.8，解得μ＝0.3.
3答案：(1)0.5 kg (2)37° (3)0.3
本文来源：https://www.wddqxz.cn/ad689b4403020740be1e650e52ea551810a6c9c1.html
2022-03-27
