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2018-2019学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
2
x0”的否定是( ) 1.(5分)命题“x0R,x0
2
x0 A.x0R,x0
B.xR,x2x D.xR,x2x
2
x0 C.x0R,x0
2.(5分)已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a11,a20193,则a1010的值为( ) A.9
B.3
C.3
D.3
3.(5分)在ABC中,若sin2Asin2Bsin2C,则ABC的形状是( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.等腰直角三角形
4.(5分)双曲线y23x29的渐近线方程为( ) A.x3y0
B.x3y0
C.3xy0
D.3xy0
5.(5分)已知ABC中,满足a3,b2,B30,则这样的三角形有( ) A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
6.(5分)已知两点F1(2,0)、F2(2,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程为( )
x2
A.
4x2
C.
16y2
1 3y2
1 4x2y2
B.1
84x2y2
D.1
1612
1
7.(5分)抛物线yx2的焦点坐标是( )
8
A.(0,4) B.(0,2)
1C.(,0)
2
D.(
1
,0) 32
0xy2…
08.(5分)实数x,y满足xy…,则z3xy的最小值是( )
x„1
第1页(共17页)
A.4 B.2 C.0 D.4
9.(5分)已知函数f(x)的图象如图所示,那么函数f(x)的导函数f(x)的图象最有可能的
是下图中的( )
A. B.
C. D.
10.(5分)设p:f(x)则p是q的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件
48x
对任意x0恒成立,xmlnx在(0,1]内单调递减,q:m…2
3x4
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2
y2
11.(5分)已知A、B分别是椭圆x1的左顶点和上顶点,C是该椭圆上的动点,
4
则ABC面积的最大值为( ) A.21
B.12
C.22
D.22
12.(5分)对于函数f(x)
x
,下列说法正确的有( ) ex
1
①f(x)在x1处取得极大值;②f(x)有两个不同的零点;③f(4)f()f(3);
e
④e22ex A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(5分)在数列{an}中,a11,an1an
1
(nN*),则an .
n(n1)
第2页(共17页)
14.(5分)已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是 .
15.(5分)某船在航行过程中开始看见灯塔在南偏东30方向,后来船沿南偏东75方向航行15海里后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是 海里.
x2y2x2y216.(5分)设F1,F2分别为椭圆C1:221(a1b10)与双曲线C2:221(a20,
a1b1a2b2
b20)的公共焦点,它们在第一象限内交于点M,F1MF290,若双曲线C2的离心
率e2
32
,则椭圆C1的离心率e1的值为 . 2
三、解答题:本大題共6小题,共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x2y2
0,若pq17.(10分)已知p:方程1表示双曲线,q:x[1,2],x2a…
a2a2
为真,pq为假,求实数a的取值范围.
a2b2c2
c,18.(12分)在ABC中角A,且b,C的对边分别是a,B,
ab
(Ⅰ)求角B;
(Ⅱ)若ABC的面积为3,求边b的取值范围.
n2isAnisC
nisB
.
19.(12分)已知等差数列{bn}中,bn1og2(ann),nN*,且a13,a311. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.
20.(12分)2018年是中国改革开放40周年,改革开放40年来,从开启新时期到跨入新世纪,从站上新起点到进入新时代,我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷,谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌.40年来,我们始终坚持保护环境和节约资源,坚持推进生态文明建设.郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护.若已知市财政下拨一项专款100(百万元),分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目,植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x(单位:百万元)的函数M(单位:百万元),M(x)
50x
,处理污染项目五年内带来的生态受益可表10x
示为投放资金x(单位:百万元)的函数N(单位:百万元),N(x)0.2x.
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为x(百万元),则两个生态项目五年内带来的收益总和为y,写出y关于x的函数解析式和定义域;
第3页(共17页)
(2)生态项目的投资开始利润薄弱,只有持之以恒,才能功在当代,利在千秋,试求出y的最大值,并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少?
21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y22px(p0)的焦点F在直线
yx1上.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)过点(1,0)作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与曲线C交于A,B两点,l2与曲线C交于E,F两点,线段AB、EF的中点分别为M,N.求证:直线MN过定点P,并求出定点P的坐标. 22.(12分)已知函数f(x)
12
x2alnx(a2)x,aR. 2
(Ⅰ)当a0时,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)当a0时,讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,),且x1x2有恒成立?若存在求出a的取值范围;若不存在;说明理由.
f(x2)f(x1)1
(x2x1)a
x2x12
第4页(共17页)
2018-2019学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(文
科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
2
x0”的否定是( ) 1.(5分)命题“x0R,x0
2
x0 A.x0R,x0
B.xR,x2x D.xR,x2x
2
x0 C.x0R,x0
2
x0”的否定为“【解答】解:命题“x0R,x0“xR,x2x”,
故选:D.
2.(5分)已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a11,a20193,则a1010的值为( ) A.9
B.3
C.3
D.3
【解答】解:数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,a11,a20193, q0
, 2018
a1q32019a10101q10093.
故选:B.
3.(5分)在ABC中,若sin2Asin2Bsin2C,则ABC的形状是( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解答】解:在ABC中,若sin2Asin2Bsin2C, 则由正弦定理可得a2b2c2,即b2c2a2,
b2c2a2再由余弦定理可得,cosA0,
2bc
即有A为钝角,
则三角形ABC为钝角三角形.
第5页(共17页)
故选:C.
4.(5分)双曲线y23x29的渐近线方程为( ) A.x3y0
B.x3y0
2
2
C.3xy0 D.3xy0
y2x2【解答】解:由双曲线y3x9化为1,可得a29,b23,
93
a3,b3. 渐近线方程为y
33
x,即3xy0.
故选:C.
5.(5分)已知ABC中,满足a3,b2,B30,则这样的三角形有( ) A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
【解答】解:ABC中,a3,b2,B30, 由正弦定理得,
ab
,
sinAsinB
32
,
sinAsin30sinA
3
,A(0,),且ab, 4
这样的三角形有2个.
故选:C.
6.(5分)已知两点F1(2,0)、F2(2,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程为( )
x2
A.
4x2
C.
16y2
1 3y2
1 4x2y2
B.1
84x2y2
D.1
1612
【解答】解:F1(2,0)、F2(2,0), |F1F2|4,
|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项, 2|F1F2||PF1||PF2|,
即|PF1||PF2|8,
第6页(共17页)
点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,
2a8,a4 c2,b212,
x2y2
椭圆的方程是:1.
1612
故选:D.
1
7.(5分)抛物线yx2的焦点坐标是( )
8
A.(0,4) B.(0,2)
1C.(,0)
2
D.(
1
,0) 32
p1
【解答】解:抛物线yx2的标准方程为x28y,p4,2,开口向下,
28
故焦点坐标为(0,2), 故选:B.
0xy2…
8.(5分)实数x,y满足xy…,则z3xy的最小值是( ) 0
x„1
A.4 B.2 C.0 D.4
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由z3xy得y3xz
平移直线y3xz由图象可知当直线y3xz经过点B时,直线y3xz的截距最大, 此时z最小.
xy20x1由,解得,
xy0y1
即A(1,1), 此时z314, 故选:A.
第7页(共17页)
9.(5分)已知函数f(x)的图象如图所示,那么函数f(x)的导函数f(x)的图象最有可能的
是下图中的( )
A. B.
C. D.
【解答】解:由原函数图象可知,原函数在(,2)上为增函数,在(2,0)上为减函数,在
(0,)上为增函数,
可得f(x)在(,2)(0,)上大于0恒成立,在(2,0)上小于0恒成立, 则函数f(x)的导函数f(x)的图象最有可能的是B. 故选:B.
10.(5分)设p:f(x)则p是q的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件
48x
对任意x0恒成立,xmlnx在(0,1]内单调递减,q:m…2
3x4
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
第8页(共17页)
【解答】解:f(x)由f(x)则f(x)
4m, 3x
4
xmlnx在(0,1]内单调递减, 3
4m
„0,在x(0,1]恒成立, 3x
4x
易得;m…在x(0,1]恒成立,
34即m…,
34
即:p:m…,
3
因为当x0时,
8x88
„2, x24x44
2xxx
8x
又m…2对任意x0恒成立,
x4
则m…2, 即q:m…2,
即p是q的必要不充分条件, 故选:B.
y211.(5分)已知A、B分别是椭圆x1的左顶点和上顶点,C是该椭圆上的动点,
4
2
则ABC面积的最大值为( ) A.21
B.12
2
C.22 D.22
y2
【解答】解:A、B分别是椭圆x1的左顶点和上顶点,
4A(1,0),B(0,2),|AB|5,
直线AB的方程为:2xy20, C是该椭圆上的动点, 设C(cos,2sin),
则点C到直线AB的距离:
|2cos2sin2|
5
|22sin(
5
4
)2|
d,
当sin(
4
)1时,dmax
222
5
,
第9页(共17页)
11222
21. ABC面积的最大值为(SABC)max|AB|dmax5
225
故选:B.
12.(5分)对于函数f(x)
x
,下列说法正确的有( ) ex
1
①f(x)在x1处取得极大值;②f(x)有两个不同的零点;③f(4)f()f(3);
e
④e22ex A.1个
【解答】解:函数f(x)
B.2个
C.3个
D.4个
x1x,可得的导数为, f(x)f(x)exex
当x1时,f(x)0,f(x)递减;当x1时,f(x)0,f(x)递增. 1
可得f(x)在x1处取得极大值,且为最大值,故①正确;
e
f(x)只有零点0,故②错误;
由f(x)在x1递减,且43, 可得f(4)f()f(3),故③正确; 由f(x)在x1递减,且21, 可得
e
2
,即e22ex,故④错误. 2e
故选:B.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(5分)在数列{an}中,a11,an1an【解答】解:a11,an1anan1an
11
(nN*),则an 2 .
n(n1)n
1
(nN*),
n(n1)
111
,(nN*),
n(n1)nn1
1
则a2a11,
2a3a2
11, 23
anan1
11, n1n
等式两边同时相加得
第10页(共17页)
1
ana11,
n
故an2
1, n
1 n
故答案为:2
14.(5分)已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是 (,1)(2,) . 【解答】解:
f(x)x33ax23(a2)x1f(x)3x26ax3(a2)
函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值 △(6a)2433(a2)0
a2或a1
故答案为:(,1)(2,)
15.(5分)某船在航行过程中开始看见灯塔在南偏东30方向,后来船沿南偏东75方向航行15海里后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是 56 海里. 【解答】解:以O为原点建立直角坐标系,如图所示; 设南偏东30方向为射线OM,
船沿南偏东75方向航行15海里后到达A点, 过A作x轴平行线,交y轴于D点,交OM于B点, 则DOA3045,cosDOAODOAcos75
15(62)
,
4
OD
, OA
又sinDOA
AD
, OA
15(62)
;
4
BD
又DOB30,tanDOB,
ODADOAsin75BDODtan30
15256
; 4
ABADBD56.
故答案为:56.
第11页(共17页)
xy2x2y2
16.(5分)设F1,F2分别为椭圆C1:221(a1b10)与双曲线C2:221(a20,
a1b1a2b2
2
b20)的公共焦点,它们在第一象限内交于点M,F1MF290,若双曲线C2的离心
率e2
323
,则椭圆C1的离心率e1的值为 . 24
【解答】解:由椭圆与双曲线的定义,知|MF1||MF2|2a1,|MF1||MF2|2a2, 所以|MF1|a1a2,|MF2|a1a2. 因为F1MF290, 所以|MF1|2|MF2|24c2, 即(a1a2)2(a1a2)24c2,
2
2c2, 即a12a2
由e1即有
cc,e2, a1a2
112, e12e22
32
, 21163所以2,可得e1,
e194
因为e2
故答案为:
3
. 4
三、解答题:本大題共6小题,共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x2y2
0,若pq17.(10分)已知p:方程1表示双曲线,q:x[1,2],x2a…
a2a2
为真,pq为假,求实数a的取值范围.
x2y2
【解答】解:当p为真时,即方程1表示双曲线,则(a2)(a2)0,即
a2a2
第12页(共17页)
2a2,
0,即1a…当q为真时,即:x[1,2],x2a…0,则(x2a)min…0,即a„1, 又pq为真,pq为假,则p、q一真一假,
2a2a剠2或a2
即或,解得:a„2,或1a2,
a1a„1
故答案为:(,2](1,2).
a2b2c2
c,18.(12分)在ABC中角A,且b,C的对边分别是a,B,
ab
(Ⅰ)求角B;
(Ⅱ)若ABC的面积为3,求边b的取值范围.
n2isAnisC
nisB
.
a2b2c22sinAsinC
【解答】解:(Ⅰ),
absinB
2abcosC2ac
由正弦定理,余弦定理可得:,可得:2bcosCc2a,
abb
2sinBcosCsinC2sinA,
2sinBcosCsinC2sin(BC)2sinBcosC2cosBsinC,可得:sinC2cosBsinC,sinC0,
cosB
1
. 2
B(0,),
B
3
.
(Ⅱ)Bac4,
13
,ABC的面积为3acsinBac,
243
2acacac4,当且仅当ac时等号成立, 由余弦定理可得:b2a2c2ac…
b…2.可得边b的取值范围是:[2,).
19.(12分)已知等差数列{bn}中,bn1og2(ann),nN*,且a13,a311. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.
【解答】解:(Ⅰ)等差数列{bn}的公差设为d,且a13,bn1og2(ann),a311, nN*,
第13页(共17页)
可得b1log2(a11)1,b3log2(a33)3, 可得d
b3b1
1, 2
则bnb1(n1)d1n1n; (Ⅱ)由bn1og2(ann)n, 可得ann2n,
则前n项和Sn(12n)(242n)
12(12n)
n(n1)
2121
(n2n)2n12. 2
20.(12分)2018年是中国改革开放40周年,改革开放40年来,从开启新时期到跨入新世纪,从站上新起点到进入新时代,我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷,谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌.40年来,我们始终坚持保护环境和节约资源,坚持推进生态文明建设.郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护.若已知市财政下拨一项专款100(百万元),分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目,植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x(单位:百万元)的函数M(单位:百万元),M(x)
50x
,处理污染项目五年内带来的生态受益可表10x
示为投放资金x(单位:百万元)的函数N(单位:百万元),N(x)0.2x.
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为x(百万元),则两个生态项目五年内带来的收益总和为y,写出y关于x的函数解析式和定义域;
(2)生态项目的投资开始利润薄弱,只有持之以恒,才能功在当代,利在千秋,试求出y的最大值,并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少? 【解答】解:(1)yM(x)N(x)(2)由(1)得到y„722
50x
0.2(100x),x[0,100], 10x
50(x10)50050010x
0.2(10x110)5022
10x10x5
50010x
722052
10x5
当且仅当
50010x
取等号,即x40时,取等号.
10x5
所以y的最大值为52万元,分别投资给植绿护绿和处理污染两个生态维护项目40万和60
第14页(共17页)
万元.
21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y22px(p0)的焦点F在直线
yx1上.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)过点(1,0)作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与曲线C交于A,B两点,l2与曲线C交于E,F两点,线段AB、EF的中点分别为M,N.求证:直线MN过定点P,并求出定点P的坐标.
【解答】解:(Ⅰ)抛物线C:y22px(p0)的焦点F在直线yx1上, 可得F(1,0),即有
p
1,即p2, 2
抛物线的方程为y24x;
(Ⅱ)证明:易知直线l1,l2的斜率存在且不为0, 设直线l1的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2), 则直线l1:yk(x1),M(
yy2x1x2
,1),
22
由y24x和yk(x1)得k2x2(2k24)xk20, △(2k24)24k416k2160, x1x22M(1
44
,, yyk(xx2)12122kk
22,), 2kk
1
由垂直的条件,可将k换为,
k
同理得N(12k2,2k),
当k1或k1时,直线MN的方程为x3; 当k1,k1时,直线MN的斜率为直线MN的方程为y2k
k
, 1k2
k2
(x12k2),即(k1)y(x3)k0, 2
1k
直线MN过定点,其坐标为(3,0).
22.(12分)已知函数f(x)
12
x2alnx(a2)x,aR. 2
第15页(共17页)
(Ⅰ)当a0时,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)当a0时,讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,),且x1x2有恒成立?若存在求出a的取值范围;若不存在;说明理由. 【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,), 由f(x)
12
x2alnx(a2)x, 2
12
x2x, 2
f(x2)f(x1)1
(x2x1)a
x2x12
当a0时,f(x)
f(x)x2, f(1)
13
2,f(1)1, 22
3
1(x1), 2
函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y
即2x2y10; (Ⅱ)
2ax2(a2)x2a(x2)(xa)
. f(x)xa2
xxx
当0a2时,若x(0,a),f(x)0,f(x)为增函数; 若x(a,2),f(x)0,f(x)为减函数; 若x(2,),f(x)0,f(x)为增函数.
0,f(x)为增函数; (2)当a2时,在(0,)上f(x)…
(3)当a2时,若x(0,2),f(x)0,f(x)为增函数; 若x(2,a),f(x)0,f(x)为减函数; 若x(a,),f(x)0,f(x)为增函数.
(Ⅲ)假设存在实数a使得对任意的x1,x2(0,),且x1x2, 有
f(x2)f(x1)1
(x2x1)a恒成立,
x2x12
不妨设0x1x2,
1111
即x222alnx2(a2)x2x122alnx1(a2)x1 x22x12ax2ax1, 2222
也就是alnx2x2alnx1x1 恒成立,
构造函数g(x)alnxx,则需函数g(x)在(0,)上为减函数.
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g(x)
aax1„0在(0,)上恒成立. xx
ax„0在(0,)上恒成立,即a„x在(0,)上恒成立. a„0.
故存在实数a(,对任意的x1,且x1x2有0],x2(0,),恒成立.
f(x2)f(x1)1
(x2x1)a
x2x12
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