焦点在y轴上的椭圆焦点弦推导过程

2023-02-17 10:08:23 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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焦点在y轴上的椭圆焦点弦推导过程

椭圆是一种特殊的曲线，它一般包含两个焦点，其椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离总和为定值，这种距离总和之常量定义为椭圆的焦距。这种特殊的性质使得椭圆成为许多物理、数学和代数的研究和应用的重要实例。下面我们用微积分方法来推导焦点弦构成的椭圆。

首先，我们建立椭圆关于直角坐标系统的参数方程，其中F(x,y)表示一个椭圆：

F(x,y)=(x-a)^2/a^2+(y-b)^2/b^2=1

已知椭圆焦点弦信息：起始点为(x_0,y_0)，终点为(x_1,y_1)，它们分别属于椭圆F(x,y)，那么x_0=a, y_0=0, x_1=a, y_1=b。

那么F(x_0,y_0)=1, F(x_1,y_1)=1，带入上面的方程，解出: a=x_0, b=y_1

现在，来考虑椭圆的焦点弦端点到其余两点问题，我们已知x_0^2/a^2+y_0^2/b^2=1， x_1^2/a^2+y_1^2/b^2=1，那么它们之间的距离是：

√[(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2]=√[2a^2+(y_1^2-y_0^2)]=√[2a^2+b^2]=2a

所以经过之前的推理，整条椭圆焦点弦的焦距为：2a，即x轴上任意点到椭圆的两个焦点，其椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离总和为2a。

总之，在y轴上的椭圆焦点弦构成的椭圆是由方程F(x,y)=(x-a)^2/a^2+(y-b)^2/b^2=1表示的，这里a=x_0、b=y_1。椭圆的焦距为2a，即x轴上任意点到椭圆的两个焦点，其椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离总和为2a。