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不等关系与不等式 知识点总结
1、不等式的基本性质 ①(对称性)abba ②(传递性)ab,bcac
③(可加性)abacbc
(同向可加性)ab,cdacbd (异向可减性)ab,cdacbd ④(可积性)ab,c0acbc
ab,c0acbc ⑤(同向正数可乘性)ab0,cd0acbd
(异向正数可除性)ab0,0cdab
cd
⑥(平方法则)ab0anbn(nN,且n1) ⑦(开方法则)ab0nanb(nN,且n1) ⑧(倒数法则)ab02、几个重要不等式
1111;ab0 abab
a2b2
. ①ab2aba,bR,(当且仅当ab时取""号). 变形公式:ab2
2
2
②(基本不等式)
ab
ab a,bR,(当且仅当ab时取到等号). 2
2
ab
变形公式: ab2ab ab.
2
用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③(三个正数的算术—几何平均不等式)
abc3
abc(a、b、cR)(当且仅当3
abc时取到等号).
④abcabbccaa,bR
2
2
2
(当且仅当abc时取到等号). ⑤abc3abc(a0,b0,c0) (当且仅当abc时取到等号). ⑥若ab0,则
3
3
3
ba
2(当仅当a=b时取等号) abba
若ab0,则2(当仅当a=b时取等号)
ab
⑦
bbmana1 aambnb
其中(ab0,m0,n0)
规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧当a0时,xax2a2xa或xa;
xax2a2axa.
⑨绝对值三角不等式ababab.
3、几个著名不等式
2aba2b2
①平均不等式:1 ab1
ab22
a,bR,(当且仅当ab时取""号).
(即调和平均几何平均算术平均平方平均).
变形公式:
22ababab;
22
2
(ab)2
ab.
2
2
2
②幂平均不等式:
a12a22...an2
1
(a1a2...an)2. n
③二维形式的三角不等式:
x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2
(x1,y1,x2,y2R).
④二维形式的柯西不等式: (ab)(cd)(acbd)(a,b,c,dR).当且仅当
2
2
2
2
2
adbc时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:
(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.
222222
⑥一般形式的柯西不等式:(a1a2...an)(b1b2...bn)
(a1b1a2b2...anbn)2.
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