1 质数与合数

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1、质数和合数



一个大于l的自然数如果只能被1和本身整除，就叫做质数(也叫素数)如果能被l和本身以外的自然数整除，就叫做合数，自然数1既不是质数也不是合数，叫做单位数，于是自然数可以分为三类：质数、合数和单位数． 关于质数、合数有下列重要性质：

1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4； 2．在所有质数中，只有2这个偶数，其余均为奇数； 3．算术基本定理：任意一个大于l的整数N能唯一地分解成k个质因数的乘积(不考虑质因数之问的顺序关系)： ‘

12

NP1、P2Pk为不同的质数，a1、a2ak为自然数． 1P2Pk,，这里P

aaak

定理说明，如果不计质因数的次序，只有一种方法可以把一个合数分解成质因数的连乘积．



例1 已知三个质数a、b、c满足以a+b+c+abc=99那么abbcca的值等于_____________. (2002年江苏省初一年级数学竞赛题)

解题思路运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a、b、c的值．

例2若p为质数，p5仍为质数，则p7为( ) (湖北省黄冈市竞赛题) (A)质数 (B)可为质数也可为合数 (c)合数 (D)既不是质数也不是合数 解题思路 从简单情形人手，实验、归纳与猜想．

例3求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数． (上海市竞赛题)

解题思路 由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，这样的质数是否唯一?需按剩余类加以深入讨论．



3

5




例4在l，0交替出现且以l打头和结尾的所有整数(如101，10101，1010101……)中有多少质数?并请证明你的论断． (2001年北京市竞赛题) 解题思路 101是质数，对于，n≥2，这串数形如A101010101的这串数中还有

2n1位

没有质数?关键是对A进行拆分变形，运用质数合数定义判断．

例5 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…40,41这41个自然数，问： (1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数? (2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数?

若能办到，请举一例；若不能办到，请浣明理由． (北京市竞赛题) 解题思路要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，运用奇偶数性质分析．



A 级

1．若a、b、c、d为整数，(a2b2)(c2d2)1997，则a2b2c2d2______



2在1，2，3，…n这n个自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k是个奇数，m个

.． 偶数,则(qm)(pk)_________

3．设a，b为自然数，满足1176a=b，则a的最小值为_______．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．已知p是质数，并且p3也是质数，则p

6

11

3

48的值为_______.(北京市竞赛题)

5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是( )． (A)4 (B)8 (C)12 (D)0

6．所有形如abcabc的六位数，(a、b、c分别是0～9这10个数之一，可以相同且a≠O)的最大公约数是( )．

(A)1001 (B)101 (C)13 (D)11 7．当整数n>1时，形如n+4的数是( )．

(A)质数 (B)合数 (C)合数且为偶数 (D)完全平方数 8．设x是正数，表示不超过x的质数的个数，如(5．1)=3，即不超过5．1的质数有2，3，5共3个，那么<<19>+<93>+(4)×(1)×<8>>的值是( )． (A)12 (B)11 (C)10 (D)9

9、是否存在两个质数，它们的和等于数11 11?若存在，请举一例；若不存在，说明理由．

20个1

4

10．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数． (上海市竞赛题)

11．在黑板上写出下面的数2，3，4，…1994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙?说明理由． (五城市联赛题)

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