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第二单元：因数与倍数
一、因数与倍数概念
1.在整数除法中，如果商也是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 如12÷2＝6，我们就说12是2的倍数，2是12的因数。 13×7＝91，13和7是91的因数，91是13和7的倍数。
注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）。 2.一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的是它本身。 3.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 4.一个数的最大因数与最小倍数相等。如32的最大因数是32，最小倍数也是32。
5.找一个数的因数或倍数的方法：列除法算式；列乘法算式。可以用列举法或者图示法表示一个数的因数和倍数。
列举法：32的因数有：1，2，4，8，16，32。 8的倍数有：8，16，24，32，40……
图示法：
6. 因数和倍数是相互依存的关系，二者不能单独存在。
比如我们可以说36是6的倍数，6是36的因数；但不能说36是倍数，6是因数。
二、2、5、3的倍数的特征
1. 2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8。
①整数中，是2的倍数的数叫偶数（0也是偶数，0是最小的偶数，0也是最小的自然数），不是2的倍数的数叫做奇数。
②这是自然数的一种分类方法。 ③和、积的奇偶性：
奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 奇数－奇数＝偶数 奇数×奇数＝奇数 偶数－奇数＝奇数 偶数±偶数＝偶数 奇数个奇数相加的和是奇数；偶数个偶数相加的和是偶数。 举数字是非常好的一种验证方法。
例1：将120个鸡蛋放在15个筐里，每个筐里的鸡蛋个数都是奇数，你能办到吗？ 答：不能办到。因为15个筐，每个筐里的鸡蛋个数都是奇数，这就相当于有15个奇数， 它们相加的和必然是奇数，而120是偶数。所以不能办到。
例2：长方形的面积是324平方米，长和宽都是整数，如果长是奇数，宽是奇数还是偶数？ 答：宽是偶数。因为324是一个偶数；长方形的面积＝长×宽，长宽都是整数，且长是奇数，只有 奇数×偶数＝偶数，所以这个长方形的宽是偶数。 2. 5的倍数的特征：个位上是0或5。
3. 3的倍数的特征：各位上的数的和是3的倍数。
例：327各位上的数字和是3+2+7=12，12是3的倍数，所以327是3的倍数。
简便方法：弃3法，连续弃3法。某一位上的数是3的倍数，可以舍弃不计算；某几位上的数字的和是 3的倍数，也可以舍弃不计算。
例：判断30689是不是3的倍数，各位数中，3,6,9是3的倍数，可以不看，剩下的数字是8，8不是3的倍数，所以30689不是3的倍数。
例：判断18547是不是3的倍数，1+8=9，5+4=9，是3的倍数，可以不看，剩下的数字7不是3的倍数，所以18547不是3的倍数。
填数使一个数成为3 的倍数的技巧：1，4，7一组；2，5，8一组；3，6，9或0，3，6，9一组。 4. 判断一个数是否是2或者5的倍数，只需要看个位；判断一个数是否是3的倍数，需要看各位上数的和。 5. 一个数既是2的倍数，又是5的倍数，个位必然是0；一个数既是2的倍数，又是3的倍数，这个数必然 是6的倍数。
三、质数和合数
1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 2. 1既不是质数也不是合数。 3. 暂不研究0
4. 这是自然数的另一种分类方法。 5. 自然数的两种分类方法之间的联系：
①哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可以表示为两个质数的和的形式； 例：12＝5+7 24＝11+13
②弱哥德巴赫猜想：又称为奇数哥德巴赫猜想、三重哥德巴赫猜想或三质数问题， 任何一个大于7的奇数都能被表示成三个奇质数的和。（一个质数可以被多次使用） 例：15=3+5+7 23=3+7+13 易错题：
1.除1以外，所有的奇数都是质数。（ × ） 2.除2以外，所有的质数都是奇数。（ √ ） 3.除2以外，所有的偶数都是合数。（ √ ） 4.除2以外，任意两个质数的和都是偶数。（ √ ）
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2023-03-20
