用微积分基本定理推导球的体积公式

2022-09-07 18:06:02   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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推导球体积公式

设球半径R,在直角坐标系中画出y2Rxx2图像,图像为半径是R圆。



将半圆绕x轴旋转一周,得到几何体为半径为R球。 其体积应满足定积分V0ydx0(2Rxx2)dx 这里我们不妨设f(x)2Rxx2

根据微积分基本定理Qaf(x)dxF(b)F(a)F'(x)f(x) 可知积分区间为[0,2R]

因为F'(x)f(x)2Rxx,所以F(x)

13

2

2R

2

2R

b

x3

3

Rx2

12

x2

(根据求导法则,f'(x)x2f(x)x3同理f'(x)x可得f(x)所以0f(x)dxF(2R)F(0)因此,VR3

4

3

2R

(2R)3

3

84

R(2R)2R34R3R3

33


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