人教版初中数学八年级下册期中试题(广西贵港市桂平市

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2017-2018学年广西贵港市桂平市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B的度数为（ ） A．20°

B．30°

C．40°

D．70°

2．（3分）在Rt△ABC中，斜边上的中线CD＝2.5cm，则斜边AB的长是（ ） A．2.5cm

B．5cm

C．7.5cm

D．10cm

3．（3分）以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（ ） A．3，4，5

B．5，12，13

C．2，3，4

D．8，15，17

4．（3分）如图，▱ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（ ）



A．6cm

B．12cm

C．4cm

D．8cm

5．（3分）在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形这几个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ） A．3个

B．4个

C．5个

D．6个

6．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ）



A．6

B．5

C．4

D．3

7．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（ ）



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A．3 B．4 C．6 D．5

8．（3分）下列判断错误的是（ ）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形

D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

9．（3分）菱形ABCD的对角线交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ） A．AB＝BC

B．OA＝OC

C．OA⊥OB

D．AC＝BD

10．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（ ）



A．AF＝AE

B．△ABE≌△AGF

C．EF＝2



D．AF＝EF

11．（3分）已知直角三角形两直角边的和为（ ） A．

B．

，斜边长为2，则这个直角三角形的面积是

C．3 D．4

12．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）



A．

B．

C．4

D．5

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）在▱ABCD中，∠A，∠B的度数之比为5：4，则∠C等于 度． 14．（3分）在某直角三角形中，其中一个锐角为30°，斜边和较小的边的和为12cm，则较大的直角边的长为 ．

15．（3分）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，

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PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为 ．



16．（3分）如图，在菱形ABCD中，边长AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是 ．



17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB边上不与A，B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是 ．



18．（3分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是 ．



三、解答题（本大题共8小题，共计66分）

19．（6分）已知一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，求这个多边形的边数及对角线的条数？

20．（6分）若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足等式|a﹣3|+（4﹣b）+0，△ABC是直角三角形吗？请说明理由．

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2

＝


21．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．

求证：（1）AE＝CF；

（2）四边形AECF是平行四边形．



22．（6分）如图，求作一点P，使PM＝PN，并且使点P到∠AOB的两边OA，OB的距离相等．



23．（8分）已知：如图，一轮船一直由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P的方向是北偏东75°，以每小时15海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P的方向是北偏东60°，若小岛周围25海里内有暗礁，问该轮船一直向东航行是否有触礁的危险？



24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE、AF． （1）证明：AF＝CE；

（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．

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25．（10分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F （1）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；

（2）当点O在边AC上运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．



26．（12分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F． （1）证明：PC＝PE； （2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．



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2017-2018学年广西贵港市桂平市八年级（下）期中数学

试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B的度数为（ ） A．20°

B．30°

C．40°

D．70°

【分析】由直角三角形的性质可直接求得答案． 【解答】解：

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°， 故选：A．

【点评】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．

2．（3分）在Rt△ABC中，斜边上的中线CD＝2.5cm，则斜边AB的长是（ ） A．2.5cm

B．5cm

C．7.5cm

D．10cm

【分析】根据直角三角形斜边上的中线的相关性质，即可推出AB的长度． 【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边AB的中线CD＝2.5cm， ∴2CD＝AB， ∴AB＝5cm． 故选：B．

【点评】本题主要考查直角三角形的相关性质，关键在于熟练运用直角三角形斜边上的中线的性质，认真的进行计算．

3．（3分）以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（ ） A．3，4，5

B．5，12，13

C．2，3，4

D．8，15，17

【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【解答】解：

在A中，3+4＝25＝5，故能构成直角三角形，故A不符合题意；

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2

2

2

2


在B中，5+12＝169＝13，故能构成直角三角形，故B不符合题意； 在C中，2+3＝13≠4，故不能构成直角三角形，故C符合题意； 在D中，8+15＝289＝17，故能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：C．

【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意常见勾股数需要熟记．

4．（3分）如图，▱ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（ ）

2

2

2

2

2

2

222



A．6cm

B．12cm

C．4cm

D．8cm

【分析】根据平行四边形对边相等的性质可知：▱ABCD的周长＝2（AB+BC），又△ABC的周长＝AB+BC+AC，故2AC＝△ABC的周长×2﹣2（AB+BC）＝△ABC的周长×2﹣▱ABCD的周长，代值求解．

【解答】解：∵▱ABCD的周长是28cm， ∴AB+BC＝14cm， ∵AB+BC+AC＝22cm， ∴AC＝22﹣14＝8 cm． 故选：D．

【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．基本性质： ①平行四边形两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等； ③平行四边形的两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分．

5．（3分）在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形这几个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ） A．3个

B．4个

C．5个

D．6个

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：既是轴对称图形又是中心对称图形的是：线段、矩形、菱形、正方形，共4个， 故选：B．

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【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

6．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ）



A．6

B．5

C．4

D．3

【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE＝BC．

【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC＝6．

又∵DE垂直平分AC交AB于点E， ∴DE∥BC，

∴DE是△ACB的中位线， ∴DE＝BC＝3． 故选：D．

【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

7．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（ ）



A．3



B．4 C．6

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D．5


【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH＝DE＝2，根据三角形的面积公式得×2×AC+×2×4＝7，于是可求出AC的值． 【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC， ∴DH＝DE＝2， ∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD， ∴×2×AC+×2×4＝7， ∴AC＝3． 故选：A．



【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长． 8．（3分）下列判断错误的是（ ）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形

D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误； B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误； C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；

D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确． 故选：D．

【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．

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9．（3分）菱形ABCD的对角线交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ） A．AB＝BC

B．OA＝OC

C．OA⊥OB

D．AC＝BD

【分析】由菱形ABCD的对角线交于点O，根据菱形的四条边都相等，对角线互相平分且垂直，即可求得答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，OA＝OC，OA⊥OB． 故不一定正确的是AC＝BD． 故选：D．



【点评】此题考查了菱形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．

10．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（ ）



A．AF＝AE

B．△ABE≌△AGF

C．EF＝2



D．AF＝EF

【分析】设BE＝x，表示出CE＝8﹣x，根据翻折的性质可得AE＝CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF＝∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE＝∠CEF，然后求出∠AEF＝∠AFE，根据等角对等边可得AE＝AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x， ∵沿EF翻折后点C与点A重合， ∴AE＝CE＝8﹣x，

在Rt△ABE中，AB+BE＝AE， 即4+x＝（8﹣x） 解得x＝3，

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2

2

22

2

2


∴AE＝8﹣3＝5，

由翻折的性质得，∠AEF＝∠CEF， ∵矩形ABCD的对边AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CEF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF＝5， ∴A正确；

在Rt△ABE和Rt△AGF中，

，

∴△ABE≌△AGF（HL）， ∴B正确；

过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形， ∴EH＝AB＝4， AH＝BE＝3，

∴FH＝AF﹣AH＝5﹣3＝2， 在Rt△EFH中，EF＝2∴C正确；

∵△AEF不是等边三角形， ∴EF≠AF， 故D错误； 故选：D．

，



【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口． 11．（3分）已知直角三角形两直角边的和为（ ）

，斜边长为2，则这个直角三角形的面积是

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A． B． C．3 D．4

【分析】根据勾股定理、完全平方公式求出2ab，根据三角形面积公式计算． 【解答】解：设直角三角形两直角边分别为a、b， 由题意得，a+b＝

2

，a+b＝2，

2

2

222

则2ab＝（a+b）﹣（a+b）＝3， ∴直角三角形的面积＝ab＝， 故选：B．

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a+b＝c．

12．（3分）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）

2

2

2



A．

B．

C．4

D．5

【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BDN中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x， ∵D是BC的中点， ∴BD＝3，

在Rt△BDN中，x+3＝（9﹣x）， 解得x＝4．

故线段BN的长为4． 故选：C．

【点评】考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）在▱ABCD中，∠A，∠B的度数之比为5：4，则∠C等于 100 度．

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2

2

2


【分析】平行四边形两组对边分别平行，两直线平行，同旁内角互补．又因为∠A，∠B的度数之比为5：4．所以可求得两角分别是100°，80°，根据平行四边形的两组对角分别相等，可得∠C等于100度．

【解答】解：根据平行四边形两邻角此补，可得：∠A+∠B＝180° 又∵∠A，∠B的度数之比为5：4， 可得两角分别是100°，80°， ∴平行四边形的对角相等， ∴∠C等于100度． 故答案为100．

【点评】本题考查的是平行四变形的性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对角分别相等．

14．（3分）在某直角三角形中，其中一个锐角为30°，斜边和较小的边的和为12cm，则较大的直角边的长为 4

cm ．

【分析】设较小直角边是xcm，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，则斜边是2xcm．从而根据斜边与较小直角边的和为12cm，得方程x+2x＝12，解得x＝4．再根据勾股定理求得较大直角边．

【解答】解：设较小直角边是xcm，则斜边是2xcm．根据题意，得 x+2x＝12， 解得x＝4． 则2x＝8．

根据勾股定理，较大直角边＝故答案为4

cm．

＝4

（cm）．

【点评】此题综合考查了30°直角三角形的性质和勾股定理．在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

15．（3分）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为 4 ．



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【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE＝PD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POD＝∠OPC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE＝∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出PE＝PC＝4，根据角平分线的性质得到答案． 【解答】解：作PE⊥OA于E， ∵P是∠AOB平分线上一点， ∴∠AOP＝∠BOP＝15°， ∵PC∥OB， ∴∠POD＝∠OPC，

∴∠PCE＝∠POC+∠OPC＝∠POC+∠POD＝∠AOB＝30°， ∴PE＝PC＝4，

∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PD＝PE＝4， 故答案为：4．



【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造含30°角的直角三角形是解题的关键．

16．（3分）如图，在菱形ABCD中，边长AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是 18

．



【分析】连接CA交BD于点O，在RT△ABO中求出BO，AO即可解决问题． 【解答】解：连接CA交BD于点O，

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∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OC，BO＝OD，

在RT△ABO中，∵∠AOB＝90°，AB＝6，∠ABO＝30°， ∴AO＝AB＝3，BO＝∴AC＝6，BD＝6

，

． AO＝3

，

∴S菱形ABCD＝•BD•AC＝18故答案为18

．



【点评】本题考查菱形的性质、直角三角形30度角性质等知识，记住菱形的对角线互相垂直平分，菱形的面积等于对角线乘积的一半，属于基础题，中考常考题型． 17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB边上不与A，B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是 4.8 ．



【分析】连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【解答】解：如图，连接CP． ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝

＝10，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°， ∴四边形CFPE是矩形， ∴EF＝CP，

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由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小， 此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CP， 即×8×6＝×10•CP， 解得CP＝4.8． 故答案为：4.8



【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．

18．（3分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是

．



【分析】作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：MK＝FK＝1，NP＝3，PF＝2，利用勾股定理可得MN的长． 【解答】解：过M作MK⊥CD于K，过N作NP⊥CD于P，过M作MH⊥PN于H， 则MK∥EF∥NP，

∵∠MKP＝∠MHP＝∠HPK＝90°， ∴四边形MHPK是矩形， ∴MK＝PH，MH＝KP， ∵NP∥EF，N是EC的中点， ∴

＝1，

＝

＝

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∴PF＝FC＝BE＝2，NP＝EF＝3， 同理得：FK＝DK＝1， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC＝45°，

∴△MKD是等腰直角三角形，

∴MK＝DK＝1，NH＝NP﹣HP＝3﹣1＝2， ∴MH＝2+1＝3，

在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN＝故答案为：

．

＝

；



【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；本题的关键是构造直角三角形MNH，根据勾股定理计算．

三、解答题（本大题共8小题，共计66分）

19．（6分）已知一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，求这个多边形的边数及对角线的条数？

【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和是（n﹣2）•180°，外角和是360°，列出方程，求出n的值，再根据对角线的计算公式即可得出答案． 【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得： （n﹣2）×180°＝360°×2+180°， 解得 n＝7，

则这个多边形的边数是7，

七边形的对角线条数为：×7×（7﹣3）＝14（条）， 答：所求的多边形的边数为7，这个多边形对角线为14条．

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【点评】本题考查了对多边形内角和定理和外角和的应用，注意：边数是n的多边形的内角和是（n﹣2）•180°，外角和是360°．

20．（6分）若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足等式|a﹣3|+（4﹣b）+0，△ABC是直角三角形吗？请说明理由．

【分析】由非负数的性质可求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【解答】解：△ABC是直角三角形． 理由是：∵|a﹣3|+（4﹣b）+∴a﹣3＝0，4﹣b＝0，c﹣5＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5，

∴a+b＝3+4＝25，c＝5＝25， ∴a+b＝c，

由勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．

【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键．

21．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．

求证：（1）AE＝CF；

（2）四边形AECF是平行四边形．

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

＝

＝0，



【分析】（1）先证明△BCF≌△DAE，再利用全等三角形的性质可得出：AE＝CF； （2）利用对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD ∠ABE＝∠CDF． 又∵BF＝DE，

∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即：BE＝DF， 在△ABE和△CDF中，

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，

∴△ABE≌△CDF（SAS）． ∴AE＝CF．

（2）∵△ABE≌△CDF， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF ∵AE＝CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，截图的关键是掌握SAS证明两个三角形全等以及平行四边形的判定定理．

22．（6分）如图，求作一点P，使PM＝PN，并且使点P到∠AOB的两边OA，OB的距离相等．



【分析】直接利用角平分线的性质结合线段垂直平分线的性质作图得出答案． 【解答】解：如图所示：点P即为所求．



【点评】此题主要考查了复杂作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题关键．

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23．（8分）已知：如图，一轮船一直由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P的方向是北偏东75°，以每小时15海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P的方向是北偏东60°，若小岛周围25海里内有暗礁，问该轮船一直向东航行是否有触礁的危险？



【分析】过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠PAD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求得BP的长，进而在直角△BPD中，利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，从而求得PD的长，即可确定继续向东航行是否有触礁的危险，确定是否能一直向东航行． 【解答】解：过点P作PD⊥AB于点．



∵在A处测得小岛P的方向是北偏东75°， ∴∠PAB＝90°﹣75°＝15°

又∵在B处测得小岛P的方向是北偏东60°， ∴∠PBD＝90°﹣60°＝30°， ∵∠PBD＝∠PAB+∠APB，

∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAB＝30°﹣15°＝15°， ∴∠APB＝∠PAB，∴AB＝PB＝2×15＝30（海里）， 在Rt△BDP中，∠PBD＝30°， ∴PD＝BP＝15（海里）＜25 （海里） ∴该轮船一直向东航行是有触礁的危险．

【点评】此题是解直角三角形﹣﹣方向角问题，主要考查了直角三角形的性质，解本题

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的关键是构造出直角三角形，用锐角三角函数是解决此类题目的关键．

24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE、AF． （1）证明：AF＝CE；

（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．



【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC＝2DE，求出EF∥AC，EF＝AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF＝CE；

（2）由直角三角形的性质得出∠BAC＝60°，AC＝AB＝AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC＝CE，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点， ∴DE∥AC，AC＝2DE， ∵EF＝2DE， ∴EF∥AC，EF＝AC， ∴四边形ACEF是平行四边形， ∴AF＝CE；

（2）解：当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB＝AE， ∴△AEC是等边三角形， ∴AC＝CE，

又∵四边形ACEF是平行四边形， ∴四边形ACEF是菱形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

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25．（10分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F （1）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；

（2）当点O在边AC上运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．



【分析】（1）利用角平分线的性质以及平行线的性质得出OE＝OF，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；

（2）利用平行四边形及矩形的性质和判定证明四边形AECF是正方形． 【解答】解：（1）∵OF是∠BCA的外角平分线， ∴∠OCF＝∠FCD， 又∵MN∥BC， ∴∠OFC＝∠FCD， ∴∠OFC＝∠OCF， ∴OF＝OC， ∴OE＝OF；

∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F ∴∠ECF＝90°， ∵CE＝12，CF＝5， ∴EF＝

＝13，

∵CE是∠ACB的角平分线， ∴∠ACE＝∠BCE， 又∵MN∥BC， ∴∠NEC＝∠ECB， ∴∠NEC＝∠ACE， ∴OE＝OC，

∴CO是△ECF上的中线，

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∴CO＝EF＝6.5；

（2）点O是AC的中点且∠ACB＝90°， 理由：∵O为AC中点， ∴OA＝OC，

∵由（1）知OE＝OF， ∴四边形AECF为平行四边形；

∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∠1+∠2+∠4+∠5＝180°， ∴∠2+∠5＝90°，即∠ECF＝90°， ∴▱AECF为矩形， 又∵AC⊥EF． ∴▱AECF是正方形．

∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．



【点评】本题考查的是平行线、角平分线、正方形、平行四边形的性质与判定，涉及面较广，在解答此类题目时要注意角的运用，一般通过角判定一些三角形，多边形的形状，需同学们熟练掌握．

26．（12分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F． （1）证明：PC＝PE； （2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

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【分析】（1）欲证明PC＝PE，只要证明△ABP≌△CBP即可； （2）利用“8字型”证明角相等即可解决问题；

（3）首先证明△ABP≌△CBP（SAS）推出PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，再证明△EPC是等边三角形，可得PC＝CE，即可解决问题； 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC， ∠ABP＝∠CBP＝45°， 在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA＝PC， ∵PA＝PE， ∴PC＝PE；

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP， ∴∠BAP＝∠BCP， ∴∠DAP＝∠DCP， ∵PA＝PE， ∴∠DAP＝∠E， ∴∠DCP＝∠E，

∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E， 即∠CPF＝∠EDF＝90°；

（3）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，

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在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP， ∵PA＝PE，∴PC＝PE，

∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E， ∵∠CFP＝∠EFD，∴∠CPF＝∠EDF ∵∠ABC＝∠ADC＝120°，

∴∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°， ∴△EPC是等边三角形， ∴PC＝CE， ∴AP＝CE；

【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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