2014.1 平谷区九年级数学第一学期期末试题

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平谷区2013～2014学年度第一学期末考试试卷

初 三 数 学 2014年1月

考生 须知

1．试卷分为试题和答题卡两部分，所有试题均在答题卡上作答． ．．．．．．

2．答题前，在答题卡上考生务必将自己的考试编号、姓名填写清楚． 3．把选择题的所选选项填涂在答题卡上；作图题用2B铅笔．

4．修改时，用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面清洁，不要折叠．

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下列各小题均有4个选项，其中只有一个选项是正确的. 1．3的相反数是

11

A． 3 B．3 C． D．

33

2．如图，在ABC中，DE∥BC，且AD:AB=2:3，则DE:BC的值为

121

A． B． C． D．2

332

3．如图，A、B、C是⊙O上的三点，若∠C=40°，则∠AOB的度数是 A．40° 4． 如果

B．50°

C．55°



D．80°

A

DB

E

2题图

C

C

O

a2b5a

，那么的值是

bb2

B．2



1A． 2

1

C． D．5

5

AB

3题图

5．如图，在平面直角坐标系中，P是1的边OA上一点， 点P的坐标为（3，4），则sin1的值为

4334

A． B． C． D．

45356．将抛物线y3x先沿x轴向右平移1个单位， 再沿y轴向 上移2个单位，所得抛物线的解析式是 A．y3(x1)2 C．y3(x1)22

2

2

5题图

2

B．y3(x1)2

D．y3(x1)22

C

7．如图，在ABC中, ∠C＝90°，分别以A、B为圆心， 2为半径画圆，则图中阴影部分的面积和为

A．3π



1

B．2π C．π D．

2π 3

A

B

7题图




8．如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点．动点P从点A 出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t．分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（ ）



8题图

A B C D



二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．在一个不透明的口袋中，装有5个红球4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为_______．

10．点P(2,y1)和点Q(1,y2)分别为抛物线yx22x3上的两点，则y1_ （用“＞”__y2．或“＜”填空）．

11．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC 内一点，且AD＝2，将△ABD绕点A逆时针旋转到

△ACE的位置，这时点D走过的路线长为 ．

12．如图，P是抛物线yx24x3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P， 当⊙P与直线y＝2相切时，点P的坐标为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）

11题图

12题图

1

13．计算：2sin4512(tan601) ．

2

0

1

14．已知x4x10，求代数式(2x1)(x2)(x2)x(x4)的值．

15．如图，在△ABC中，∠C=60°，AC=2， BC=3． 求tanB的值．





2

22




16．如图，在边长为1的正方形网格中有两个三角形 △ABC和△DEF，试证这两个三角形相似．

17．一次函数yaxb的图象与反比例函数y（1）求一次函数和反比例函数的关系式；

（2）画出草图，并根据草图直接写出不等式axb

k

的图象交于A(1，4)、B(﹣2，m)两点， x

k

的解集． x



18．抛物线yx2bxc过点（2，-2）和（-1，10），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式． （2）求△ABC的面积．



四、解答题（本题共10分，每小题5分）

19．在矩形ABCD中，AB = 10，BC = 12，E为DC的中点，

连接BE，作AF⊥BE，垂足为F． （1）求证：△BEC∽△ABF； （2）求AF的长．

20．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线， 垂足为D，且AC平分∠BAD． (1) 求证：CD是⊙O的切线；

(2) 若AC＝26，AD＝4，求AB的长．



3

AD

E

F

B



C

D

C

A

O

B






五、解答题（本题共17分，其中第21题5分，22题5分，23题7分） 21．如图，在RtAOB中，ABO90，OB4，AB8， 且反比例函数y

k

在第一象限内的图象分别交OA、AB x

于点C 和点D，连结OD，若SBOD4， (1) 求反比例函数解析式； (2) 求C点坐标．

22．老师要求同学们在图①中MON内找一点P，使点P到OM、ON的距离相等．

小明是这样做的：在OM、ON上分别截取OA=OB，连结AB，取AB中点P，点P即为所求． 请你在图②中的MON内找一点P，使点P到OM的距离是到ON距离的2倍．要求：简单叙述做法，并对你的做法给予证明． O

MAE

P

F

①

B

N

23．已知关于x的方程kx2(4k1)x40． （1）当k取何值时，方程有两个实数根；

（2）若二次函数ykx2(4k1)x4的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值并用配方法求出抛物线的顶点坐标；

（3）若（2）中的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．将抛物线向上平移n个单位，

使平移后得到的抛物线的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），写出n的取值范围．



4




六、解答题（本题7分）

24．以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，

其中∠ABO=∠DCO=30°．

（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接EF 和FM．

①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，EF=_______；

FM

②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（060）， 其他条件不变，判断EF的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

FM

（2）如图3，若BO=33，点N在线段OD上，且NO=3．点P是线段AB上的一个动点，在

将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．



E

A

B

A

O

M

O

E

BM



DDFFCC

图2

图1

A



OP

O

B



NN

DC

DC 图3 备用图



七、解答题（本题8分）

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，

3），点M是抛物线2

C2：ymx22mx3m(m0)的顶点．

（1）求A、B两点的坐标．

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC的面积最

大？若存在，求出PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当BDM为直角三角形时，直接写出m的值．______



5






平谷区2013～2014学年度第一学期末质量监控 初三数学答案及评分标准 2014．1



一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1 2 3 题 号

A B D 答 案



二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．

4 A

5 C

6 B

7 C

8 D

52 ； 10． ； 11． ； 93

12．（2+2，1）、（2 -2，1）、（0，3）、（4，3）（四个答案填对一个答案给一分）． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）

113．解：2sin4512(tan601)0

2

2

(21)12-------------------------------------------------4分 2

22134----------------------------------------------------- 5分

2

14．解： (2x1)(x2)(x2)x(x4)

=4x4x1(x4)x4x-------------------------------------------------------------3分 =4x4x1x4x4x

=2x8x5--------------------------------------------------------------------------------------- 4分 由x4x10，得x4x1，

原式=2(x4x)+5

=2+5=7----------------------------------------------------------------------------------------------5分

15．解：如图，作AD⊥BC于点D，-------------------------------------1分 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠C=60°， ∴∠DAC=30°，------------------------------------------------------------2分 ∵AC=2，∴DC=1．-------------------------------------------------------3分 由勾股定理得AD=3．------------------------------------------------4分 又∵BC=3，∴BD=2．

在Rt△ADB中，∠ADB=90°， ∴tanB=



6

22

2

22

2

2

1

2

222

A

BDC

AD3

．-----------------------------------------------------5分 BD2






16．证明：由图可知，AB=3， EF=2，--------------------------1分 由有勾股定理得CB=2，AC=5，

DF=10，DE=32．--------------------------------3

分

∵

EF2

2， BC2

DE32DF102，2 AB3AC5

∴

EFDEDF

----------------------------------4分 BCABAC

∴△ABC∽△DEF--------------------------------------5分

17．解：（1）把A(1，4)代入y 把B(﹣2，m)代入y

k4

中，得k=4，∴y．-------------------------------1分 xx

4

中，得m=﹣2，∴B(﹣2，﹣2)． ----------------------2分 x

把点A(1，4)和B(﹣2，﹣2)代入yaxb中，得



ab4,a2,

解得

2ab2.b2.

∴ y=2x+2．---------------------------------------------------------------------------------- 4分

4

和y=2x+2即为所求． x

（2）草图略．解集为2x0或x1．-----------------------------------------------5分

y

18．解：（1）把点（2，-2）和（-1，10）代入yxbxc中，得 

2

42bc2,

--------------------------------------------------------- 1分

1bc10.

b5,

-------------------------------------------2分

c4.

2

解得

∴所求二次函数解析式为yx5x4．-----------3分 （2）在yx5x4中，

令x=0，得y=4． ∴C(0，4)．

令y=0，得x5x40，解得x=1或x=4．



7

2

2






∴A(1，0) ，B(4，0)．

∴AB=3，OC= 4 ---------------------------------------------------------------------------4分

∴SABC

ABOC34

6------------------------------------------------------5分 22



四、解答题（本题共10分，每小题5分）

A19．（1）证明：在矩形ABCD中，有

∠C=∠ABC=∠ ABF+∠EBC=90°，

∵AF⊥BE，∴∠ AFB=∠ C=90°--------------------------1分 ∴∠ABF+∠BAF =90°

∴∠BAF=∠EBC---------------------------------------------2分 ∴△BEC∽△ABF--------------------------------------------3分

F

B （2）解：在矩形ABCD中，AB = 10，∴CD=AB=10，

∵E为DC的中点，∴CE=5，

又BC = 12，在Rt△BEC 中，由勾股定理得BE=13，-------------4分 由△ABF∽△BEC得

D

E

C

AFAB

 BCBEAF10

 即 1213

120

解得AF=----------------------------------------------------------------5分

13



20．（1）证明：联结OC------------------------------------------1分 ∵OA=OC，∴∠1=∠2

D

EB

C∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠3．

2∴∠2=∠3． -------------------------------------------2分

3∴OC//AD

∴∠OCE=∠ADC A1

O

∵AD⊥DC ∴∠ADC=90° ∴∠OCE=90°

∴CD是⊙O的切线．-----------------------------------3分 （2）解：联结BC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．---------------------------------------------------------------------------------4分 又∵∠ADC=90°，∠1=∠3， ∴cos∠1=cos∠3，

2ACACAD即，∴AB 

ABACAD

把AC＝26，AD＝4代入，得AB=6．-------------------------------------------------5分





8






五、解答题（本题共17分，其中第21题5分，22题5分,23题7分） 21．解：（1）设D（x，y），

则有OB=x，BD=y． 由 SBOD4，得 由y

OBBDxy

4，4， xy=8．

22

k

可得，k=xy，∴k=8， x8

∴y．--------------------------------------------------2分

x

（2）过点C作CE⊥OB于点E．

在RtAOB中，ABO90，OB4，AB8，

∴tan∠AOB ∴

AB

2， BO

CE

2，CE=2EO， EO

8

中，得 x

设C点坐标为（a，2a），------------------------------------------------------------4分

把点C（a，2a）代入y

2a28，解得a2，

∵点C在第一象限，∴a>0，取a=2． ∴C点坐标为（2，4）．------------------------------------------------------------------5分

22．做法：

（1）在OM、ON上分别截取OA=OB，连结AB．

（2）在MAB内做射线AH，并在AH上顺次截取AC=CD=DG，连结BG． （3）分别过C、D两点做DP∥BG、CQ∥BG．

点P即为所求．-----------------------------------------------------------------------------2分

（若没有用尺规作图，直接叙述在OM、ON上分别截取OA=OB，连结AB．在AB上取一点P，使AP=2BP也不扣分）

证明：作PEOM，PFON，垂足分别为E、F．

则有AEPBFP90．-------------3分

∵OA=OB，∴OAPOBP

∴ AEP∽BFP---------------------------4分 ∴

PEAP

2 PFBP



9




∴ 点P即为所求．-------------------------------------------------------------------------------5分

(4k1)24k40

23.(1)依题意得-----------------------------------------------------1分

k0

(4k1)20

整理得

k0

∵当k取任何值时，(4k1)20，

∴k0

∴当k0时，方程总有两个实数根.------------------------------------------------------------- 2分 (2) 解方程kx2(4k1)x40，得x14，x2

1． k

∵x1和x2均为整数且k为正整数，∴取k=1．--------------------------------------------- 4分 ∴yx25x4

222

x5x()()4

5259(x)2

24

5

2

∴抛物线的顶点坐标为（

59，）．-------------------------------------------------------- 6分 24

915

n (3) 4 ------------------------------------------------------------------------------------ 7分4

六、解答题（本题7分） 24． 解：（1）①

3

． -------------------------------------------------2分 A 3

O

E

M

F

D

B

② 不变．

证明：如图，连结AD和BC． 在Rt△AOB和Rt△COD中，

∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°． ∴∠AOD=∠COB，

AODO3

tan30． BOCO3

C

∴AOD∽BOC．--------------------------------------------------------------------3分 ∴

ADAO3． BCBO3

又∵E、F、M分别为AC、CD、BD中点，



10




∴FM

11

BC，EFAD．-------------------------------------------------------4分 22

∴

EFAD3

．-------------------------------------------------------------------5分 

FMBC3

（2）线段PN长度的最小值为0，最大值为333．---------------7分

七、解答题（本题8分）

25. 解：（1）在ymx22mx3m中，

令y=0，则mx2mx3m0，解得x=3或x= -1．

∴A、B两点的坐标为：A（-1，0）、B（3，0）．-------------------------------2分

（2）设过A、B、C三点的抛物线解析式为yax2bxc，

把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，

2

3

）代入yax2bxc中，得 2

3c2

abc0 解得 9a3bc0

∴ y

1a2

b1 3c

2

123

xx．-------------------3分 22

3

设过B（3，0）、C（0，）两点的解析式为

2

ykxb， 代入，得y

13

x．-----------------------------------------------------------------------4分 22

设“蛋线”在第四象限上存在一点P，过P点作PH⊥AB，垂足为H，交BC于点G.

13123

x），P（x，xx）． 2222

13123123

则PG=x-(xx)=xx.----------------------------------------5分

222222

设H点坐标为（x，0），则G（x，∵

SPBCSPCGSPBGPGOHPGBHPGOB3(x2x)

1113

2222

393327

SPBCx2x(x)2

444216

∴“蛋线”在第四象限上存在使得PBC面积最大的点P，

27

最大面积是．------------------------------------------------------------------------------6分

16

1212

11




（3）m1或m

2

-------------------------------------------------------------------------8分 2

12

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