2013年全国中学生数学能力竞赛(决赛)试题高一年级组

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2013年全国中学生数学能力竞赛（决赛）试题

高一年级组

基础能力部分（共60分，每题5分）

1、已知f(3x)4xlog23233，则f(x)f(4)f(8)

f(28) .

112、若a2a2

32

12

，则

1

11

1

111a

4

1a

4

1a2

1a

 . 3、已知lgxlga2lg(x2a)，则log2x

a

 .

4、设A{x|2x4x0|,B|x2|x2a(1x2

)a，1其中0}

xR，如果ABB，则实数a的取值范围为 .

5、根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是 .



6、设[x]是不超过x的最大整数，则[log31][log32]

[log3500] .

7、奇函数f(x)在区间(,0)上是增函数，且f(2)1,f(1)0，当x10,x20有f(x1x2)f(x1)f(x2)，则不等式log2|f(x)1|0在x0的条件下的解集

为 .

8、甲、乙两人到商店买商品，商店里每件商品的单价只有8元和9元两种.已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，两人共购买8元商品 件. 9、牛顿冷却定律描述了一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间h后的温度T将满足TT1

m

2

(T0T0)，其中Tn是环境温度，使上式成立所需要的时间h称为半衰期.在这样的情况下，t时间后的温度T将满足

11

TTm(2

)n(T0Tm)，现有一杯195°F用热水冲的还溶咖啡，放置在75°F的房间

中，如果咖啡降温到105°F需20分钟，经过30分钟后温度降为 . 10、某地兴修水利挖渠，其渠道的横截面为等腰梯形，腰与水平线的夹角为60°，要求横

戴面的周长（两腰和下底的和）为定值m，问渠深h为 时，可使史流量最大？

11、已知函数f(x)满足：（1）对任意的实数x，f(x2)f(x)；（2）对任意的实数x，

f(1x)f(1x)；（3）当0x1时，f(x)x，若关于x的方程

f(x)loga(x10)(a0,且a1)在区间[0,8]内恰有6个不同的实根，

则a的取值范围为 .

12、在计算机和算法语言有一种函数[x]叫做整函数（也成高斯函数），它表示x的整数部

分，即[x]是不超过x的最大整数，例如：[2]2,[3.1]3,[2.6]3.设函数

24f(x)12x1

2

，则函数y[f(x)][f(x)]的值域为 .

综合能力部分（共90分）

13、已知全集UR，集合A{x|x22x80},B{x|x22x300},C|x|

x23ax2a20|，求实数a的取值范围. （1）使CAB；

（2）使C(CUA)(CUB).





14、函数f(x)对任意的m,nR都有f(mn)f(m)f(n)1，且当x0时，

f(x)1.

（1）求证：f(x)在R上是增函数；

（2）若f(3)4，解不等式f(a2

a5)2.



1


15、烧一根不均匀的绳要用一个小时，如何用它来判断半个小时？烧一根不均匀的绳，从

头烧到尾总共需要1个小时.现在有若干条材质相同的绳子，问如何用烧绳的方法来计时一个小时十五分钟呢？



16、已知函数f(x)x2ax3的对称轴为x1.

（1）求a的值；

（2）设函数g(x)logxm，对于任意x1,x2[1,4]有f(x1)g(x2)恒成立，求m的

取值范围.

17、已知函数f(x)x22ax1a在区间[0,1]上有最大值2，求a的值.



18、对任意的实数x，定义|x|x[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数. （1）求函数f(x)|x||x|的值域； （2）设x1,x2,

,xn是任意给定的n个互不相等的实数.

求证：存在某个正整数k(1kn)，使得|x1xk||x2xk||x3xk|

|xn1

nxk|2





2

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