函数极限的求法总结

2024-02-08 00:38:30 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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函数极限的求法总结

函数极限是高等数学中的一个重要概念，其在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。函数极限的求法相对而言较为复杂，但通过理解一些基本的求极限的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种极限问题。下面将对函数极限的求法进行总结。

一、基本极限求法：

1. 代入法：直接将自变量的值代入函数中，得到一个数值。 2. 分子分母都趋于0的极限：在计算分子分母同时趋于0的极限时，可以根据问题的具体形式进行化简，然后再求极限。 3. 有界函数的极限：有界函数的极限一般可以通过夹逼定理进行求解。即通过构造两个函数，一个逼近于函数极限的上界，另一个逼近于函数极限的下界，然后利用夹逼定理求得函数的极限。

4. 无穷小量的性质：利用无穷小量的性质进行极限的推导和化简。

二、重要极限法则： 1. 基本极限法则：

(1) 常数函数极限：lim c = c，其中c是常数；

(2) 幂函数极限：lim x^n = a^n，其中a是常数，n是正整数； (3) 正比例函数极限：lim kx = ka，其中k是常数；

(4) 正比例函数的乘积极限：lim k*g(x) = k*lim g(x)，其中k是常数；

(5) 正比例函数的商极限：lim [g(x)/h(x)] = lim g(x) / lim h(x)，其中h(x)≠0。

2. 极限的四则运算法则：

(1) 和的极限：lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)； (2) 差的极限：lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x)； (3) 积的极限：lim [f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x)；

(4) 商的极限：lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x)，其中lim g(x) ≠ 0。

3. 乘积极限法则：lim [f(x) * g(x)] = (lim f(x)) * (lim g(x))，其中极限存在。

4. 商的极限法则：lim [f(x) / g(x)] = (lim f(x)) / (lim g(x))，其中极限存在且lim g(x) ≠ 0。

5. 复合函数极限法则：复合函数的极限等于内外函数的极限的乘积，即lim f(g(x)) = lim f(u) * lim g(x)，其中lim g(x)存在且lim f(u)存在。

6. 极限的放缩法则：如果对于任意的x，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，并且lim g(x) = lim h(x) = a，则lim f(x) = a。

7. 极限算术根本定理：设函数h(x) = f(x) + g(x)，其中lim f(x)存在且lim g(x)存在。则lim h(x)存在，并且lim h(x) = lim f(x) + lim g(x)。

三、夹逼准则：

夹逼准则是指如果函数f(x)和g(x)在某点a的某个去心邻域内满足：g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，并且lim g(x) = lim h(x) = L，则lim